운중동고1수학과외: 원 방정식에서 중심과 반지름을 역검산하는 법
운중고등학교 프린트를 풀던 학생의 답안에는 다음과 같은 식이 남아 있었다.
x² + y² - 6x + 8y - 11 = 0
(x - 3)² + (y + 4)² = 36
중심: (3, -4), 반지름: 36
완전제곱식으로 정리한 과정은 맞았지만, 마지막 줄에서 오른쪽의 36을 반지름이라고 적었다. 원의 표준형은 (x-a)²+(y-b)²=r²이므로 오른쪽 값은 반지름 자체가 아니라 반지름의 제곱이다.
오른쪽 숫자 36이 의미하는 것
식을 항별로 정리하면
x² - 6x + y² + 8y - 11 = 0
x² - 6x + 9 + y² + 8y + 16 = 11 + 9 + 16
따라서
(x - 3)² + (y + 4)² = 36
이다. 표준형과 비교하면 중심은 (3, -4)이고, r²=36이다. 그러므로 반지름은 양수인 길이로 r=6이다. 반지름을 36으로 적으면 중심은 맞더라도 원의 크기를 여섯 배 잘못 해석하게 된다.
계산이 끝난 줄에 빠져 있던 확인
이 학생은 원 방정식 계산 후 중심·반지름으로 원래 조건을 역검산하는 흔적을 여백에 남기지 않았다. 수정할 때는 답만 고치는 대신, 오류가 발생한 줄부터 다시 작성한다.
중심 (3, -4), 반지름 6을 원의 표준형에 넣으면
(x - 3)² + (y - (-4))² = 6²
즉,
(x - 3)² + (y + 4)² = 36
이 된다. 다시 전개하면
x² - 6x + 9 + y² + 8y + 16 = 36
x² + y² - 6x + 8y - 11 = 0
으로 처음 식이 돌아온다. 이 과정을 거치면 36을 반지름으로 옮긴 것이 아니라 r² 값으로 해석해야 한다는 점이 계산 안에서 확인된다.
중심의 부호도 함께 원래 식에 대입하기
중심의 y좌표가 -4인 이유는 (y+4)²=(y-(-4))²이기 때문이다. 따라서 중심을 (3, 4)로 잘못 읽지 않도록 중심과 반지름을 원래 조건에 함께 넣어 본다.
점 (3, -4)를 원래 식에 대입하면
3²+(-4)²-6·3+8·(-4)-11=9+16-18-32-11=-36
중심은 원 위의 점이 아니므로 원의 방정식을 만족할 필요는 없다. 대신 중심에서 식의 각 항이 어떤 형태로 묶였는지를 확인해야 한다. 표준형에서 중심을 읽고 반지름을 구한 뒤 전개하여 원래 식으로 돌아오는 것이 이 문제에 맞는 역검산이다.
생활 리듬에 맞춘 짧은 검산 기록
운중동에서도 운중고등학교까지의 이동 거리와 귀가 시간은 학생마다 다를 수 있다. 긴 복습 시간을 확보하기 어려운 날에는 새 문제를 많이 풀기보다, 학교 프린트의 원 하나를 골라 여백에 다음 네 줄만 남기는 방식이 적절하다.
- 완전제곱식으로 정리한 표준형
- 중심 좌표
- r²와 r의 구분
- 중심·반지름을 넣어 원래 식으로 돌아가는 전개
같은 분당구의 태원고등학교, 분당대진고등학교, 낙생고등학교, 분당고등학교는 참고 학교일 뿐 운중동 소재 학교로 단정하지 않는다. 학교와 주거지 사이 이동 시간이 다른 만큼, 이 검산 기록도 학생이 실제로 확보할 수 있는 짧은 시간 안에 끝나도록 구성한다.
형식이 바뀐 문제에서 근거를 먼저 말하는가
시험 후에는 다음과 같은 별도의 유사문제를 제시한다.
표에서 x가 2배, 3배, 5배로 변할 때 y가 각각 12, 8, 4.8로 변했다. 이때 x와 y의 관계를 식과 그래프로 나타내라.
학생이 계산 결과만 말하는지, 먼저 변화 관계를 설명하는지 확인한다. x와 y의 곱은 각각 24, 24, 24이므로 xy=24, 즉 y=24/x인 반비례 관계이다. 독립적으로 표의 관계를 읽고 반비례임을 결정한 뒤 식과 그래프의 모양까지 연결한다면, 원 문제에서도 오른쪽 36을 그대로 옮기는 대신 그것이 r²이라는 근거를 먼저 말하는지 확인할 수 있다.
원의 방정식에서는 표준형을 얻는 계산만으로 끝내지 않고, 중심과 반지름을 다시 식에 넣어 원래 조건으로 되돌아가는 과정까지 수행해야 풀이가 완성된다.