야탑동고2수학과외에서 등차수열을 다룰 때는 공식 암기보다 부분합의 적용 범위를 먼저 읽는 과정이 중요하다. 야탑고등학교, 태원고등학교, 분당영덕여자고등학교, 분당아람고등학교처럼 학교별 과제와 시험 일정이 달라질 수 있지만, 서술형 답안에서 자주 드러나는 문제는 공차 조건과 항번호의 범위를 빠뜨리는 것이다.
Sn과 an을 연결할 때 n=1을 따로 보는 이유
문제에서 등차수열의 부분합이
Sn = n(3n+1)/2, n≥1
로 주어졌다고 하자. 첫째항은 부분합의 정의에 따라
a1 = S1 = 1×4/2 = 2
이다. 반면 일반적으로
an = Sn − Sn−1
은 n≥2에서 성립한다. 따라서 학생이 다음처럼 적었다면
잘못된 줄: an = Sn − Sn−1 (n≥1)
수정한 줄: an = Sn − Sn−1 (n≥2)
달라진 기호는 ≥ 하나지만, n=1일 때 S0이 문제에서 정의되지 않았다는 점을 바로잡은 것이다. n≥2에서 계산하면
an = [n(3n+1) − (n−1)(3n−2)]/2 = 3n−1
이므로 a2=5, a3=8이고 공차는 d=3이다. 따라서 답안에는 a1=2, an=3n−1 (n≥2), d=3처럼 범위와 공차가 함께 남아야 한다. 식을 n=1까지 확장해 값이 우연히 맞더라도, 실제 유도 과정에서 사용한 부분합의 관계는 n≥2에서 시작한다.
공차 조건이 빠지면 일반항을 정당화할 수 없다
부분합과 일반항을 연결한 뒤에는 인접한 항의 차를 확인해야 한다. 위 문제에서는
an+1−an = [3(n+1)−1]−(3n−1)=3
이므로 실제로 등차수열이며 공차는 3이다. 단순히 일반항만 적고 공차를 생략하면, 주어진 수열이 등차수열이라는 조건이 풀이에 어떻게 반영되었는지 확인하기 어렵다.
답안을 고칠 때는 부분합의 정의와 항번호 범위를 한 줄씩 표시한다.
S1=a1
an=Sn−Sn−1 (n≥2)
d=an+1−an=3
경계값을 n=2로 바꾼 확인 문제
조건이 다음과 같이 바뀐 경우를 풀어 보자.
a1=5, Sn=n(2n+3) (n≥2)
이때 n=1에 부분합 공식을 대입하면 안 된다. 먼저 경계항을 직접 계산한다.
a2=S2−S1=2(7)−5=9
그리고 n≥3에서
an = n(2n+3) − (n−1)(2n+1) = 4n+1
이다. 이 식은 n=2에서도 9를 주지만, 그 값을 얻는 근거는 n=2일 때도 S2−S1을 사용했기 때문이다. 따라서 경계값을 바꾸어도 먼저 정의된 부분합의 시작 범위를 확인하고, 공차가
a3−a2=13−9=4
임을 직접 확인해야 한다. 새로운 문제에서 n=1과 n=2를 구분해 적고, 공차와 일반항의 성립 범위를 스스로 표시했다면 부분합 공식을 기계적으로 적용한 것이 아니다.