야탑동고1수학과외

야탑동고1수학과외, 매개변수로 원의 조건 판별하기

야탑동의 야탑고등학교, 태원고등학교 등에서 학교 수업과 과제가 겹치는 시기에는 원의 식을 정리한 뒤 곧바로 계산을 이어 가는 풀이가 자주 나타난다. 그러나 매개변수가 포함된 원의 방정식에서는 식의 모양뿐 아니라 반지름이 실제로 양수가 되는지까지 확인해야 한다.

반지름 제곱이 매개변수에 따라 달라지는 식

다음 식이 어떤 실수 k의 값에서 실제 원이 되는지 살펴보자.

x² + y² - 4x + 6y + k = 0

제곱완성을 하면

(x - 2)² + (y + 3)² = 13 - k

따라서 중심은 (2, -3)이고, 반지름의 제곱은 13 - k이다. 실제 원이 되려면 반지름이 양수여야 하므로

13 - k > 0

이어야 한다. 그러므로 조건은 k < 13이다. k = 13이면 반지름이 0인 한 점이 되고, k > 13이면 오른쪽 값이 음수가 되어 실수 좌표를 갖는 원이 만들어지지 않는다.

결과식만 남긴 답안에서 빠진 판단

실제 풀이에서 학생은 위 식을 제곱완성한 뒤 (x - 2)² + (y + 3)² = 13 - k까지만 적고, 곧바로 중심과 반지름을 기록했다. 매개변수의 범위를 묻는 문제였지만 ‘반지름 제곱이 양수여야 한다’는 확인 문장은 답안에 없었다.

이 경우 계산을 전혀 못 한 것은 아니다. 다만 원의 식과 단순히 제곱완성된 식을 구분하지 못하고, 오른쪽 값의 조건을 확인하지 않은 상태다. 특히 k에 아무 값이나 대입하면 항상 원이 된다고 판단할 위험이 있다.

식 다음에 반드시 남겨야 할 근거

풀이를 다음처럼 연결하도록 훈련한다.

• 제곱완성: (x - 2)² + (y + 3)² = 13 - k
• 반지름 제곱 확인: r² = 13 - k
• 실제 원 조건: r² > 0
• 범위 결정: 13 - k > 0이므로 k < 13

말로는 “오른쪽 값이 반지름 제곱이므로 양수여야 실제 원이다”라고 설명한 뒤 식을 적는다. 이렇게 하면 결과만 맞히는 것이 아니라 매개변수의 조건을 찾은 근거가 답안에 남는다.

부호가 바뀐 식으로 확인하기

훈련 문제는 숫자만 복사하지 않고 다음과 같이 바꾼다.

x² + y² + 8x - 2y + a = 0

제곱완성하면

(x + 4)² + (y - 1)² = 17 - a

중심은 (-4, 1), 반지름 제곱은 17 - a이므로 실제 원의 조건은

17 - a > 0, 즉 a < 17이다.

여기서 학생이 다시 결과식만 적는다면 “어디서 막혔는지”를 한 문장으로 말하게 한다. 예를 들어 “제곱완성 뒤 오른쪽 값을 반지름 제곱으로 확인하지 않고 넘어갔다”라고 정리해야 한다.

짧은 선수 확인 뒤 현재 문제로 돌아오기

부호가 섞인 제곱완성에서 막히면 초등 수준의 음수 계산과 괄호의 부호만 짧게 복구한다. 예를 들어 (y - 1)² = y² - 2y + 1임을 확인한 뒤, 곧바로 위 원의 식으로 돌아온다. 이후에는 풀이를 보지 않고 중심, 반지름 제곱, 실제 원의 조건을 차례로 직접 적는지 확인한다.

같은 확인을 현재 중1 수준의 좌표 문제인 “중심이 (-4, 1)인 원에서 중심의 x좌표와 y좌표를 각각 쓰시오”에 적용해 좌표 순서를 스스로 구분하는지도 살핀다. 그 뒤 다시 매개변수 원 문제를 시작했을 때, 계산 결과뿐 아니라 r² > 0이라는 근거까지 남기면 조건 판별을 독립적으로 수행한 것이다.