야탑동 고3 수학과외에서 확인한 정규분포 그래프 해석
야탑동에는 야탑고등학교, 태원고등학교, 분당영덕여자고등학교, 분당아람고등학교가 있으며, 같은 분당구의 참고 학교로 분당대진고등학교가 있다. 중학교보다 이동과 과제, 시험 준비가 늘어나는 고등학교 생활에서는 풀이 결과뿐 아니라 조건을 빠르게 구조화하는 습관이 중요하다.
표준편차가 변할 때 그래프의 모양을 먼저 판단하기
학생은 정규분포를 따르는 확률변수 \(X\)의 확률밀도함수를
\(f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)
로 확인한 뒤, 평균 \(\mu=70\), 표준편차 \(\sigma=5\)인 그래프와 \(\sigma=10\)인 그래프를 비교했다. 그런데 첫 풀이에서 계산 중간에 다음과 같이 적었다.
“\(\sigma\)가 커지면 그래프가 더 높고 좁아진다.”
이 판단은 틀렸다. 정규분포의 최고점은 \(x=\mu\)에서
\(f(\mu)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\)
이므로 \(\sigma\)가 5에서 10으로 커지면 최고 높이는 절반으로 낮아진다. 동시에 자료가 평균 주변에 덜 집중되어 퍼지므로 그래프는 더 넓고 평평해진다. 따라서 \(\sigma\)가 커질 때의 올바른 설명은 “높이는 낮아지고 폭은 넓어진다”이다.
오류 줄을 찾아 식과 그림을 함께 수정한 과정
- 틀린 줄 표시: \(\sigma\) 증가 → 높이 증가, 폭 감소
- 조건 확인: 평균 \(\mu\)는 그대로이고 표준편차만 변하므로 중심 \(x=\mu\)는 이동하지 않는다.
- 식 수정: \(f(\mu)=1/(\sigma\sqrt{2\pi})\)에서 분모가 커지므로 최대 높이는 감소한다.
- 그래프 수정: \(\mu=70\)을 중심으로 두 그래프를 겹쳐 그리고, \(\sigma=10\)인 그래프를 낮고 넓게 표시한다.
- 검산: \(\sigma=5\)일 때 최고점은 \(1/(5\sqrt{2\pi})\), \(\sigma=10\)일 때는 \(1/(10\sqrt{2\pi})\)이므로 두 번째 최고점이 정확히 절반인지 확인한다.
또한 표준화식 \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\)에서 \(\sigma\)가 커지면 같은 \(x\)와 평균의 차이가 표준편차 단위로는 작아진다는 점도 함께 연결했다. 단순히 그래프의 폭을 외우는 대신, 식의 분모와 표준화 방향을 먼저 확인한 것이다.
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 평균을 \(\mu=40\), 표준편차를 \(\sigma=3\)에서 \(\sigma=6\)으로 바꾼 정규분포를 별도로 제시했다. 학생은 이전 예제를 보지 않고 다음 세 가지를 먼저 적었다.
- 두 그래프의 중심은 모두 \(x=40\)이다.
- \(\sigma=6\)인 그래프의 최고점은 \(\frac{1}{6\sqrt{2\pi}}\)로 더 낮다.
- \(\sigma=6\)인 그래프가 평균에서 더 넓게 퍼진다.
실제로 \(x=46\)에서 표준화하면 \(\sigma=3\)일 때 \(z=2\), \(\sigma=6\)일 때 \(z=1\)이다. 따라서 표준편차가 커진 경우 같은 원자료가 평균에서 상대적으로 가까워지며, 그래프가 더 높고 좁아진다는 처음 판단이 재현되지 않음을 확인했다.