수내동고2수학과외, 마지막 항과 항의 개수를 구분하는 등차수열의 합
“공식에 숫자는 모두 넣었는데 답이 이상해요.” 수내동 수내3동주택단지 생활권에서 학교별 주간 일정에 맞춰 고2 수학을 점검할 때, 등차수열의 합에서는 이런 풀이가 자주 발견된다. 식의 모양은 기억하고 있지만, 마지막 항의 값과 더한 항의 개수를 같은 역할로 읽는 순간 계산이 틀어진다.
n은 마지막 항이 아니라 더한 항의 개수다
등차수열의 첫째항이 4, 공차가 3일 때 처음 6개 항은
4, 7, 10, 13, 16, 19
이므로 a₆=19이다. 합은 첫째항과 마지막 항을 이용해
S₆ = 6(4+19)/2 = 69
로 계산한다. 여기서 앞의 6은 마지막 항의 값 19가 아니라 항의 개수다. 실제로 항을 직접 더해도 4+7+10+13+16+19=69이므로 결과를 확인할 수 있다.
오답표에서 바뀐 기호 하나 찾기
다음 문제에서 학생은 계수와 부호가 바뀐 식을 만났다.
7, 3, -1, -5, ...인 등차수열의 첫 8항의 합을 구하여라.
공차는 -4이고,
a₈ = 7+(8-1)(-4) = -21
이다. 그런데 학생의 오답에는 다음과 같이 적혀 있었다.
S₈ = (-21)(7+(-21))/2 = 147
마지막 항값 -21을 항의 개수 자리에 넣은 것이 오류다. 정확한 식은 다음과 같다.
S₈ = 8(7+(-21))/2 = -56
실제로 항은 7, 3, -1, -5, -9, -13, -17, -21이고, 합은 -56이다. 음의 공차에서는 뒤쪽 항들이 음수가 되므로 합의 부호도 함께 살펴야 한다.
잘못된 줄과 고친 줄을 나란히 놓기
| 구분 | 풀이 |
|---|---|
| 잘못된 줄 | S₈ = (-21)(7+(-21))/2 |
| 수정한 줄 | S₈ = 8(7+(-21))/2 |
두 줄을 비교할 때 바뀐 기호는 -21 → 8 하나다. 답안에는 먼저 항의 개수: 8, 마지막 항: -21이라고 따로 적은 뒤 공식에 대입하게 한다. 이 표시는 계수와 항값이 달라지는 문제에서도 풀이 순서를 유지하게 만든다.
식이 아니라 항의 변화로 합을 다시 확인하기
새 조건을 그래프로 제시한다고 하자. 가로축에 항번호 n, 세로축에 항의 값 aₙ을 놓고 다음 점을 표시한다.
(1,12), (2,9), (3,6), (4,3), (5,0)
점들이 직선 위에 놓이므로 공차는 -3이고, 5개 항의 합은 그래프에서 세로값들의 합으로 읽는다.
S₅ = 12+9+6+3+0 = 30
공식으로도
S₅ = 5(12+0)/2 = 30
이다. 이때 학생이 0을 항의 개수로 쓰지 않고, 가로축에서 마지막 점의 번호가 5임을 확인해야 한다. 그래프의 마지막 세로값과 마지막 점의 가로좌표를 구별했다면 표현이 식에서 그림으로 바뀌어도 같은 판단을 이어간 것이다.
수내고등학교와 분당고등학교처럼 수내동 내 학교의 주간 프린트와 평가 일정은 서로 다를 수 있지만, 등차수열의 합에서는 문제의 표현보다 항의 개수, 첫째항, 마지막 항을 분리해 읽는 과정이 우선이다.