수내동고1수학과외, 평행이동에서 원의 중심과 부호 읽기
수내동의 수내고등학교나 분당고등학교에서 학교 프린트와 문제집의 표현이 달라질 때, 원의 방정식을 보고 중심을 정확히 읽는 과정이 중요하다. 같은 분당구의 태원고등학교, 분당대진고등학교, 낙생고등학교 자료를 참고하더라도 학교별 주간 일정과 문제 형식은 다를 수 있으므로, 식 자체의 구조를 판단하는 연습이 필요하다.
식에서 중심을 바로 적으면 생기는 좌표 오류
원의 표준형은 다음과 같다.
(x-a)²+(y-b)²=r²
이때 중심은 (a,b)이고 반지름은 r이다. 괄호 안의 부호와 중심 좌표의 부호가 같다고 읽는 것이 아니라, x-a에서 a를, y-b에서 b를 찾아야 한다.
예를 들어 (x-3)²+(y+2)²=16의 중심은 (3,-2), 반지름은 4이다. y항은 y-(-2)로 볼 수 있으므로 중심의 y좌표가 -2가 된다.
평행이동 전후를 한 식으로 연결하기
중심이 (3,-2)인 원을 x방향으로 -5, y방향으로 6만큼 평행이동하면 새 중심은
(3-5, -2+6)=(-2,4)
가 된다. 반지름은 평행이동으로 변하지 않으므로 새 원의 방정식은
(x+2)²+(y-4)²=16
이다. 여기서 x항의 x+2는 중심의 x좌표가 -2임을, y항의 y-4는 중심의 y좌표가 4임을 나타낸다. 원래 식의 괄호 모양과 이동한 중심을 따로 외우면 두 정보가 분리되지만, 중심을 먼저 이동시킨 뒤 표준형에 다시 대입하면 연결이 유지된다.
수내동 학습 장면에서 확인한 표시 누락
수내3동 주택단지에서 귀가한 뒤 학교 자료의 문제를 풀던 학생은 (x-1)²+(y+4)²=25를 보고 중심을 (1,4)라고 적었다. 괄호 안의 부호를 중심 좌표에 그대로 옮긴 것이다. 풀이 옆에는 평행이동 전후의 중심을 연결하는 표시가 없었고, 오답표에도 해당 판단 단계가 기록되지 않았다.
이 식의 정확한 중심은 (1,-4), 반지름은 5이다. 실제로 중심 (1,-4)를 대입하면
(x-1)²+(y-(-4))²=25
가 되어 주어진 식과 일치한다. 따라서 오류는 계산이 아니라 괄호 속 식을 x-a, y-b 형태로 해석하지 않은 데서 발생했다.
이동량을 먼저 좌표에 적용하는 풀이
수정할 때는 방정식을 곧바로 고치지 않고 중심을 별도 줄에 적는다.
- 원래 중심: (1,-4)
- 평행이동: 오른쪽 3, 아래로 2
- 새 중심: (1+3,-4-2)=(4,-6)
- 새 방정식: (x-4)²+(y+6)²=25
마지막 식에서 중심을 다시 읽어 (4,-6)이 나오는지 확인한다. 괄호의 +6을 보고 y좌표를 6이라고 적으면 같은 오류가 반복되므로, y+6=y-(-6)이라는 변환까지 직접 써야 한다.
형식이 바뀐 문항에서 남는 판단 흔적
문제집에서 식 대신 좌표평면 그림이나 표로 원의 이동을 제시할 때도 먼저 제목, 축의 단위, 이동 전 중심과 이동 후 중심의 관계를 읽게 한다. 예를 들어 표에 원래 중심이 (1,-4), 이동량이 (3,-2)라고 제시되면 전체 좌표와 각 방향의 변화량을 구분하여 새 중심 (4,-6)을 적는다.
풀이 시작 전에는 중심 좌표 표시 → 이동량 표시 → 표준형 재작성의 흔적이 남아 있는지 기록한다. 같은 식을 다시 푸는 것이 아니라 표현이 표나 그래프로 바뀐 문항에서도 부호를 반대로 읽고, 이동된 중심을 식에 정확히 반영하는지를 확인한다.