수내동 고3 수학과외에서 확인하는 이항분포 정규근사의 조건
수내동에는 수내고등학교와 분당고등학교가 있고, 같은 분당구에는 태원고등학교·분당대진고등학교·낙생고등학교 등이 있다. 학교와 학생마다 주간 내신 일정이 다르므로, 표로 정리된 확률 문제를 만났을 때도 앞 문제의 결론을 그대로 적용하기보다 현재 조건을 다시 확인하는 연습이 필요하다.
표의 구간을 확률변수의 조건으로 바꾸기
한 학생은 성공 확률이 \(p=0.4\)인 독립 시행을 200회 실시한 표에서, 성공 횟수가 70 이상 90 이하일 확률을 구했다. 이때 \(X\sim B(200,0.4)\)이므로
\(\mu=np=80,\quad \sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{48}=4\sqrt3\)
이다. 이항분포를 정규분포로 근사할 때는 \(Y\sim N(80,48)\)로 두고 연속성 수정을 적용한다.
표의 \(70\le X\le90\)은 정규분포에서
\(69.5\le Y\le90.5\)
로 바뀐다. 따라서 표준화하면
\[ P(70\le X\le90)\approx P\left(\frac{69.5-80}{4\sqrt3}\le Z\le\frac{90.5-80}{4\sqrt3}\right) \]
\[ =P(-1.515\cdots\le Z\le1.515\cdots) \]
이다. 표준정규분포표에서 \(\Phi(1.52)\approx0.9357\)을 사용하면
\(P(70\le X\le90)\approx2\Phi(1.52)-1=0.8714\)
로 계산할 수 있다.
학생의 오답에서 빠진 검산
오답식: \(P(70\le X\le90)\approx P(70\le Y\le90)\)
이 식은 이항분포의 정수 구간을 정규분포의 구간으로 바꾸면서 연속성 수정을 하지 않았기 때문에 틀렸다. 특히 \(X=70\)과 \(X=90\)을 포함하는 문제인데, 정규분포에서는 양 끝을 각각 \(69.5\), \(90.5\)까지 확장해야 한다.
또 다른 풀이에서는 앞 문제에서 사용한 \(n=200\)의 근사 결과를 그대로 가져와 새로운 표에도 적용했다. 학생은 틀린 줄에 표시를 한 뒤, 먼저 \(np\)와 \(n(1-p)\)을 따로 계산했다. 이 두 값이 충분히 큰지 확인하고, 표의 구간 옆에 “양 끝 포함 → 연속성 수정”이라고 적었다. 이후 \(69.5,90.5\)를 대입해 표준화하고, 계산한 확률이 구간의 중심 \(80\)을 기준으로 대칭적인지 다시 확인했다.
작은 시행 횟수에서는 근사를 멈추기
조건을 바꾼 검증 문제로 \(X\sim B(8,0.25)\)에서 \(X\ge3\)일 확률을 살펴보았다. 학생의 기존 방식은 “이항분포는 정규분포로 바꾼다”였지만, 이번에는
\(np=8(0.25)=2,\quad n(1-p)=8(0.75)=6\)
으로 한쪽 값이 작다. 따라서 정규근사를 무조건 사용할 수 없으며, 이항분포의 정확한 계산을 해야 한다.
\[ P(X\ge3)=1-P(X\le2) \]
\[ =1-\left\{\binom80(0.25)^0(0.75)^8+\binom81(0.25)(0.75)^7+\binom82(0.25)^2(0.75)^6\right\} \]
\[ =1-(0.1001+0.2670+0.3115)\approx0.3214 \]
이다. 학생은 “작은 \(n\)에서도 정규근사를 사용한다”는 잘못된 줄을 지우고, 근사조건 확인 → 구간의 포함 여부 표시 → 정확한 이항확률 계산 순서로 다시 작성했다. 이렇게 평균과 표준편차뿐 아니라 \(np,n(1-p)\), 끝점, 구간 방향을 함께 확인해야 표로 제시된 문제에서도 독립적으로 판단할 수 있다.