삼평동고2수학과외

삼평동 고2수학과외: 등차수열의 합, 먼저 성립 범위부터 확인하기

삼평동에는 2025년 학교 주소 기준으로 판교고등학교가 확인되며, 태원고등학교·분당대진고등학교·낙생고등학교·분당고등학교는 같은 분당구의 참고 학교로 구분된다. 학교와 주거지 사이 이동 시간에 따라 풀이 시간을 확보하는 방식은 다를 수 있지만, 등차수열의 합에서는 생활 리듬보다 먼저 식이 적용되는 조건을 판별해야 한다.

마지막 항의 값과 항의 개수는 서로 다르다

수열의 합 공식

S_n = n(a₁ + a_n)/2

은 첫째항부터 제n항까지의 항이 등차수열이고, 항들이 빠짐없이 연속해서 더해질 때 사용한다. 여기서 n은 항의 개수이며, a_n은 마지막 항의 값이다.

예를 들어 수열 a_k = 3k + 2에서 첫째항부터 제8항까지의 합을 구하면

a₁ = 5,   a₈ = 26

이고 공차는

a_k+1 - a_k = 3

으로 일정하다. 따라서 등차수열의 합을 적용할 수 있으며,

S₈ = 8(5 + 26)/2 = 124

이다.

26을 n 자리에 넣은 풀이가 틀린 이유

풀이 기록에는 다음과 같은 식이 남아 있었다.

S₈ = 26(5 + 26)/2

여기서 26은 제8항의 값이지 항의 개수가 아니다. 첫째항부터 제8항까지 더하므로 공식의 n에는 8이 들어가야 한다. 잘못된 식은 공차 조건을 확인하지 않은 채 마지막 항의 값과 항 번호를 한 기호처럼 처리한 데서 시작되었다.

풀이를 전부 지우기보다 오류가 시작된 줄에서 멈추고, 다음 세 칸을 다시 표시하게 했다.

• 항의 개수: n = 8
• 첫째항: a₁ = 5
• 마지막 항: a₈ = 26

그 뒤 공차가 실제로 일정한지 확인한 후, 8(5+26)/2를 계산한다. 이처럼 공식에 숫자를 넣기 전에 수열의 종류와 더하는 범위를 식 옆에 적어야 같은 오류가 줄어든다.

부분 구간에서는 항 번호의 차이를 세기

이번에는 첫째항부터가 아니라 제4항부터 제9항까지의 합을 살펴보자. 같은 수열에서

a₄ = 14,   a₉ = 29

이다. 제4항부터 제9항까지는

9 - 4 + 1 = 6

개의 항이므로

a₄ + a₅ + ··· + a₉ = 6(14 + 29)/2 = 129

가 된다. 마지막 항이 29라는 이유로 29를 항의 개수 자리에 넣으면 안 되며, 시작 번호와 끝 번호로 실제 항의 개수를 계산해야 한다.

범위를 좁힌 검산에서 조건과 답을 함께 확인하기

새 조건으로 수열 a_k = 4k - 1의 제3항부터 제5항까지의 합을 구한다.

a₃ = 11,   a₅ = 19,   5 - 3 + 1 = 3

공차가 4로 일정하므로 합 공식은 성립하고,

a₃ + a₄ + a₅ = 3(11 + 19)/2 = 45

이다. 이때 확인해야 할 것은 45라는 최종값만이 아니다. 실제 범위가 3≤k≤5인지, 항의 개수가 3개인지, 마지막 항의 값 19와 항의 개수 3을 구분했는지를 함께 대조해야 한다.