삼평동고1수학과외, 원의 접선과 반지름의 수직관계
원의 방정식이 x²+y²=16이고 접점이 P(0, 4)일 때 접선은 y=4이다. 그런데 학생은 우변의 16을 반지름으로 옮겨 반지름 r=16이라고 적은 뒤 접선도 y=16이라고 답했다.
16은 길이가 아니라 반지름의 제곱
원의 표준형은
(x-a)²+(y-b)²=r²
이다. 따라서 x²+y²=16은 중심 O(0, 0), r²=16인 원이며, 실제 반지름은 √16=4이다. 접점 P(0, 4)까지의 거리가 실제로
OP=√{(0-0)²+(4-0)²}=4
이므로 반지름이 4라는 사실도 확인된다.
접점에서 반지름과 직각인 직선 찾기
반지름 OP는 y축 위에 놓인 수직선이다. 접선은 반지름과 수직이므로 P를 지나면서 수평인 직선이 된다. 따라서 접선의 방정식은
y=4
이다. 학생이 적은 y=16은 원 위의 접점 P(0, 4)를 지나지 않으므로 접선이 될 수 없다. 이 문제에서 반지름을 16으로 잘못 읽은 행동은 단순 계산 실수가 아니라 r²과 r을 구별하지 않은 데서 생겼다.
원의 오른쪽 값은 r²인가? → 실제 반지름은 √{r²}인가? → 접선은 접점에서 반지름과 수직인가?
정답을 베끼기 전에 바꿀 한 가지 행동
학생이 오답노트에 풀이 전체를 다시 적는 대신, 식 옆에 “우변 16은 r², 반지름은 4”라고 기록하게 했다. 이후 같은 문제를 볼 때 먼저 중심과 접점을 표시하고, OP의 방향을 확인한 다음 접선의 방향을 결정한다.
예를 들어 중심이 O(1, -2), 접점이 P(4, 2)인 원에서는 OP의 방향벡터가 (3, 4)이다. 반지름의 길이는 5이고, 접선의 기울기는 반지름 기울기 4/3의 음의 역수인 -3/4이다. 따라서
y-2=-3/4(x-4)
에서 정리하면 3x+4y=20이다. 이때 원의 방정식은 (x-1)²+(y+2)²=25이므로, 오른쪽 25 역시 반지름 5가 아니라 반지름의 제곱이다.
학교 자료의 표현이 달라져도 같은 관계를 찾는가
삼평동에서 판교고등학교까지의 이동 시간과 귀가 후 확보되는 시간이 학생마다 다를 수 있으므로, 학교 프린트를 바로 복습하는 경우와 문제집을 먼저 푸는 경우를 구분해 확인할 필요가 있다. 같은 분당구의 태원고등학교, 분당대진고등학교, 낙생고등학교, 분당고등학교는 참고 학교일 뿐 삼평동 소재 학교로 단정하지 않는다.
검증에서는 수행평가 자료의 “중심에서 접점으로 그은 선과 직각인 직선”이라는 표현을 지필형 문제의 “점 P에서의 접선의 방정식을 구하라”로 바꾼다. 예를 들어 (x-2)²+(y+1)²=36에서 접점 P(5, 3)을 제시하면 r²=36, r=6임을 먼저 구한다. 반지름 벡터는 (3, 4)이므로 접선은
3(x-5)+4(y-3)=0
즉 3x+4y-27=0이다. 학생이 표현이 바뀐 뒤에도 우변을 반지름으로 옮기지 않고, 중심·접점·수직관계를 스스로 연결하면 이 학습 항목을 마친 것으로 본다.