삼평동 고3 수학과외에서 다룬 정규근사의 경계값 처리
삼평동에는 2025년 주소 기준 판교고등학교가 확인되며, 태원고등학교·분당대진고등학교·낙생고등학교·분당고등학교는 같은 분당구 내 참고 학교이다. 학교와 주거지 사이 이동 시간에 따라 학습 가능 시간이 다른 만큼, 짧은 시간에도 풀이의 첫 단계에서 조건을 고정하는 연습이 필요하다.
계산보다 먼저 확인한 이항분포의 구조
학생은 성공확률이 p=0.3인 시행을 200번 반복할 때 성공 횟수를 확률변수 X라 두고, 다음 확률을 구하는 문제를 풀었다.
P(55≤X≤70)
이항분포의 평균과 표준편차는
μ=np=200×0.3=60, σ=√np(1-p)=√42≈6.48
이다. 정규분포 Y~N(60, 6.48²)로 근사할 때 이산적인 정수 구간을 연속적인 구간으로 바꾸려면 양 끝에 0.5씩 보정해야 한다.
따라서
P(55≤X≤70)≈P(54.5≤Y≤70.5)
이고, 표준화하면
P((54.5-60)/6.48≤Z≤(70.5-60)/6.48)
즉 P(-0.85≤Z≤1.62)이다. 표준정규분포표에서 Φ(1.62)≈0.9474, Φ(-0.85)≈0.1977이므로 정답은
0.9474-0.1977=0.7497
정도로 구할 수 있다.
학생이 실제로 남긴 오답과 수정 과정
학생의 오답: P(55≤X≤70)≈P(55≤Y≤70)
z값을 바로 계산하여 P((-5/6.48)≤Z≤(10/6.48))≈P(-0.77≤Z≤1.54)≈0.7189
이 식은 틀린 식이다. 이항분포의 X는 정수값만 가지지만 정규분포의 Y는 실수 전체에서 값을 가지므로, X=55를 포함하려면 연속구간의 시작을 54.5로, X=70을 포함하려면 끝을 70.5로 옮겨야 한다. 보정을 생략해 구간을 지나치게 좁힌 것이 오답의 원인이다.
- 틀린 줄 표시: P(55≤X≤70)≈P(55≤Y≤70)
- 조건 확인: X의 값은 55, 56, …, 70인 정수이고 정규근사에서는 각 정수가 폭 1인 구간으로 대응된다.
- 식 수정: P(55≤X≤70)≈P(54.5≤Y≤70.5)
- 표준화: 평균 60을 빼고 표준편차 √42로 나누어 -0.85≤Z≤1.62를 얻는다.
- 검산: 원래 정수 55와 70이 각각 54.5~55.5, 69.5~70.5 구간의 중심에 놓이는지 확인했다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 풀이를 반복하지 않고, 이번에는 X~B(150, 0.4)에서 P(X≥70)을 구하게 했다.
평균은 μ=150×0.4=60, 표준편차는 σ=√(150×0.4×0.6)=6이다. X≥70이므로 연속성 보정 후 경계는 69.5가 된다.
P(X≥70)≈P(Y≥69.5)=P(Z≥(69.5-60)/6)=P(Z≥1.5833)
따라서 표준정규분포표를 이용하면
P(Z≥1.58)≈1-0.9429=0.0571
이다. 학생은 이번에는 70이 아니라 69.5에서 시작해야 한다는 점과, 오른쪽 꼬리 확률이므로 1-Φ를 사용해야 한다는 점을 확인했다.