분당동고2수학과외

분당동 고2수학과외, 등차수열에서 특정 값의 항번호와 부분합 연결하기

분당동에서 분당대진고등학교 하교 뒤 분당어린이공원이나 스위첸파티오1단지 인근을 거쳐 자습을 시작하는 학생이라면, 짧은 시간에도 풀이의 기준을 분명히 남기는 연습이 필요하다. 등차수열에서는 식의 모양이 바뀌어도 항번호와 부분합을 분리해 확인해야 한다.

a_n=4n−1에서 n=8을 얻은 뒤

다음 등차수열에서 31이 몇 번째 항인지 구해 보자.

a_n=4n−1

a_n=31로 두면

4n−1=31
4n=32
n=8

여기서 답을 8이라고만 적으면 확인이 끝난 것이 아니다. 실제 항을 계산해

a₈=4×8−1=31

임을 확인해야 한다. 학생의 답안에는 “a_n=4n−1=31에서 n=8”까지만 남고, 항번호가 실제 수열의 항과 맞는지와 부분합 조건이 빠져 있었다. 항번호를 구하는 식과 부분합을 구하는 식을 한 줄에 섞으면 이런 누락이 생기기 쉽다.

항번호와 부분합을 서로 다른 줄에 기록하기

이 수열의 첫째항과 공차는

a₁=4×1−1=3,   d=4

이다. 따라서 8번째 항까지의 합은

S₈=⁸⁄₂{2×3+(8−1)×4}
=4(6+28)=136

풀이할 때는 답안 옆에 다음 세 가지를 나란히 적는다.

• 항의 조건: a_n=31
• 항번호 확인: n=8, a₈=31
• 부분합 조건: S₈=136

이렇게 하면 특정 값의 항번호를 구한 뒤 그 번호를 부분합의 아래첨자에 잘못 옮기거나, 첫째항과 공차를 다시 확인하지 않는 실수를 줄일 수 있다.

부호가 바뀌어도 같은 기준으로 확인하기

이번에는 식의 부호와 특정 값이 모두 달라진 문제를 적용한다.

a_n=1−4n에서 a_n=−31일 때 n과 S_n을 구하여라.

먼저 항번호를 구하면

1−4n=−31
−4n=−32
n=8

그다음 실제 항을 대입한다.

a₈=1−4×8=−31

a₁=−3, d=−4이므로

S₈=⁸⁄_{2>{2(−3)+7(−4)}
=4(−6−28)=−136}

부호가 바뀌었지만 “특정 값 설정 → 항번호 계산 → 실제 항 대입 → 첫째항과 공차로 부분합 계산”의 기준은 유지된다. 분당동에서 방과후 이동 뒤 확보한 자습시간에는 문제 전체를 여러 번 푸는 것보다, 이 네 줄이 빠짐없이 남았는지 점검하는 편이 효과적이다.