분당동 고3수학과외: 평균을 가로지르는 정규분포 구간확률 점검
분당동에서 분당대진고등학교 통학 후 자습하는 학생은 방과후 이동 시간을 고려해 짧은 풀이에서도 조건을 먼저 확인하는 연습을 진행했다. 분당어린이공원 인근에서 귀가하기 전, 계산보다 구간과 평균의 위치를 표시하는 데 집중했다.
평균을 기준으로 구간을 나누어 표준화하기
확률변수 X가 평균 70, 표준편차 10인 정규분포를 따른다고 하자.
X ~ N(70, 102)
구간확률 P(60 ≤ X ≤ 85)를 구하면 양 끝을 표준화하여
P(60 ≤ X ≤ 85) = P(-1 ≤ Z ≤ 1.5)
이다. 표준정규분포표에서
Φ(1.5) = 0.9332, Φ(-1) = 0.1587
이므로
P(-1 ≤ Z ≤ 1.5) = 0.9332 - 0.1587 = 0.7745
처럼 계산한다. 이 구간은 평균에 해당하는 Z=0을 가로지르므로, 양 끝의 부호를 확인해야 한다.
부호 패턴을 그대로 옮긴 오답
학생의 오답: P(-1 ≤ Z ≤ 1.5) = Φ(1.5) - Φ(1) = 0.9332 - 0.8413 = 0.0919
이 식은 틀렸다. 왼쪽 경계가 -1인데 표준정규분포표에서 Φ(1)을 사용했기 때문이다. 평균 왼쪽의 누적확률은 Φ(-1)=0.1587이며, 부호를 지운다면 대칭성을 사용해 P(-1≤Z≤0)=Φ(1)-0.5로 따로 계산해야 한다. 음의 경계를 양수로 바꾼 뒤 누적확률의 위치까지 바꾸면 구간이 달라진다.
체크박스로 조건을 다시 확인한 풀이
- ☑ 표준화: (60-70)/10=-1, (85-70)/10=1.5
- ☑ 왼쪽 경계 부호: 음수
- ☑ 평균 포함 여부: -1 ≤ 0 ≤ 1.5
- ☑ 정의역 밖 값 여부: 두 경계 모두 실수이며 표준정규분포표 범위 안
학생은 틀린 중간줄에 표시한 뒤, 원래 변수의 관계를 다시 대입했다.
60 ≤ 70+10Z ≤ 85
양변에서 70을 빼고 10으로 나누면 -1 ≤ Z ≤ 1.5가 되므로, 부호를 임의로 바꿀 수 없음을 확인했다. 마지막으로 계산값을 구간의 대략적인 크기와 비교했다. 평균을 중심으로 왼쪽 약 0.3413, 오른쪽 약 0.4332를 합하면 0.7745이므로 0.0919보다 큰 값이어야 한다.
새 조건으로 독립 검증하기
이번에는 Y ~ N(52, 82)이고, P(44 ≤ Y ≤ 68)을 구한다.
표준화하면
P(44 ≤ Y ≤ 68)=P(-1.0≤Z≤2.0)
이다. 평균을 가로지르는 구간이므로
Φ(2.0)-Φ(-1.0)=0.9772-0.1587=0.8185
가 정답이다. 학생은 이번에는 음의 경계인 -1.0을 그대로 표시하고, 44=52+8(-1), 68=52+8(2)를 역계산해 원래 구간과 일치하는지 확인했다.