분당동고1수학과외, 원과 직선의 교점 수를 거리와 반지름으로 판단하기
원의 방정식이 (x-2)²+(y+1)²=25로 주어졌을 때 오른쪽의 25는 반지름이 아니라 r²이다. 따라서 중심은 (2, -1), 반지름은 r=5로 읽어야 한다. 직선과 원이 만나는 점의 개수는 중심에서 직선까지의 거리와 5를 비교해 결정한다.
25를 반지름으로 옮긴 순간 생긴 오답
분당대진고등학교 프린트 문제를 풀던 학생은 직선 3x+4y-30=0과 위 원의 위치를 판단하면서 여백에 다음처럼 적었다.
원의 반지름 r=25, 중심에서 직선까지의 거리 d=28/5이므로 d<r, 두 점에서 만난다.
이 풀이는 결론까지 잘못되었다. 원의 식에서 25는 r²이므로 반지름은 √25=5이다. 중심 (2, -1)을 직선에 대입하면
d=|3·2+4·(-1)-30|/√(3²+4²)=|-28|/5=28/5
이다. 즉 d=28/5는 5보다 크므로 직선은 원의 바깥에 있고, 교점은 0개다. 학생은 거리 계산은 했지만, 비교 대상인 반지름을 r²과 구분하지 않았다. 여백에도 ‘중심에서 직선까지 거리와 반지름으로 교점 개수 판단’이라는 확인 흔적이 없었다.
비교식은 반드시 d와 r로 세운다
- d<r: 직선이 원을 가로지르므로 교점 2개
- d=r: 직선이 원에 접하므로 교점 1개
- d>r: 직선이 원의 바깥에 있으므로 교점 0개
이때 방정식 (x-a)²+(y-b)²=r²에서 비교할 길이는 오른쪽 수가 아니라 그 제곱근이다. 이번 문제에서는 25와 28/5를 비교하는 것이 아니라, √25=5와 28/5를 비교해야 한다.
빠진 판단 줄부터 다시 쓰는 수정 방식
오답을 지우고 계산 전체를 반복하기보다, 반지름을 결정하는 줄 앞에 빠진 단계를 표시한다.
중심 (2, -1), r²=25이므로 r=5
d=|3·2+4·(-1)-30|/5=28/5
28/5>5이므로 교점은 0개
작도로 확인할 때도 원의 중심에서 직선에 내린 수선의 길이가 28/5이고, 그 길이가 반지름 5보다 길다는 점을 설명해야 한다. 접점이나 교점 그림의 모양을 외우는 대신, 중심과 직선 사이의 거리 및 원의 반지름이라는 두 길이를 실제로 비교하는 것이다.
문장 조건이 추가된 문제에서 걸러 내기
방과 후 분당어린이공원 인근에서 공부한 뒤 다음 문제를 제시했다.
중심이 (-1, 2)이고 반지름이 4인 원의 넓이는 16π이다. 직선 3x+4y+20=0과 이 원의 교점 개수를 구하여라.
원의 넓이 16π는 이미 주어진 반지름으로 확인할 수 있는 정보이므로 교점 판단에는 필요하지 않다. 중심을 직선에 대입하면
d=|3·(-1)+4·2+20|/√(3²+4²)=25/5=5
이고 r=4이므로 d>r이다. 따라서 교점은 0개다. 이 문제에서 확인할 것은 숫자 16π를 계산에 억지로 넣는지가 아니라, 불필요한 정보를 제외하고 중심에서 직선까지의 거리와 반지름만 비교하는지이다.
짧은 이동 뒤에도 남겨야 할 한 줄
분당동에서 학교 수업과 방과 후 이동이 이어진 날에는 긴 풀이보다 문제 옆에 “r²에서 r을 먼저 구했는가?”라는 한 줄을 남기는 방식이 적절하다. 이후 새로운 문제를 풀 때 학생이 원의 넓이, 직선의 계수처럼 관계없는 정보를 스스로 제외하고, 실제로 d와 r의 비교식을 작성한다면 이 판단을 혼자 적용하는지 확인할 수 있다.