구미동고2수학과외: 등차수열의 값에서 항번호를 찾기 전 확인할 것
방과후 이동 뒤 구미마을과 건영아파트 주변에서 자습을 이어 가는 학생의 풀이를 살펴보면, 계산 자체는 빠르지만 항번호의 성립 조건을 답안에 남기지 않는 경우가 있다. 불곡고등학교 학습지의 다음 문제에서도 같은 장면이 나타났다.
공식으로 얻은 n이 실제 항번호인지 확인하기
첫째항이 3이고 공차가 4인 등차수열에서 일반항은
an = 3 + (n-1)·4 = 4n - 1
이다. an = 31인 항의 번호를 구하면
4n - 1 = 31
4n = 32
n = 8
계산 결과는 맞지만, 여기서 답을 곧바로 “8”이라고 끝내면 확인 과정이 빠진다. 항번호는 자연수여야 하므로 n ∈ N인지 먼저 살펴야 하고, 구한 번호가 실제로 목표값을 만드는지도 대입해야 한다.
a8 = 4·8 - 1 = 31
따라서 이 문제의 완전한 답안은 “n=8이고, 8은 자연수이며 a8=31이므로 31은 제8항의 값이다.”가 된다.
항번호의 범위를 지우면 생기는 빈칸
풀이 노트에는 변형 문제에서도 an=4n-1=31에서 n=8까지만 적혀 있었다. 결과값은 맞지만, 공차가 4인 수열의 항번호라는 조건과 실제 항 확인이 남아 있지 않았다. 특히 어떤 값은 식을 풀었을 때 자연수가 나오지 않아 수열의 항이 아닐 수 있다.
예를 들어 같은 수열에서 an=30을 찾으면
4n-1=30 → 4n=31 → n=31/4
이다. n이 자연수가 아니므로 30은 이 등차수열의 항이 아니다. 식을 풀어 값을 얻었다는 사실만으로 항번호가 성립한다고 판단할 수 없는 이유다.
답안 옆에 네모로 남기는 세 가지 조건
특정 값의 항번호를 구할 때는 계산 전에 다음 확인 칸을 만든다.
□ 일반항의 공차와 첫째항 확인
□ 구한 n이 자연수인지 확인
□ an에 대입하여 목표값과 일치하는지 확인
앞의 문제에는 다음처럼 적용한다.
an=3+(n-1)·4=4n-1
□ d=4 확인 □ n=8∈N □ a8=31
이 세 칸을 채운 뒤에만 항번호를 답으로 옮긴다. 공차가 4라는 사실은 단순한 공식의 재료가 아니라, 실제로 수열이 어떤 값들을 건너뛰며 만들어지는지를 판단하는 조건이다.
값에서 번호를 거꾸로 찾는 확인 문제
이제 조건을 바꾸어 첫째항이 11, 공차가 -2인 수열을 생각해 보자. 일반항은
an = 11 + (n-1)(-2) = 13 - 2n
이다. an=-7일 때는
13-2n=-7 → -2n=-20 → n=10
이고, n=10∈N이며 a10=13-20=-7이므로 -7은 제10항이다.
반대로 0이 이 수열의 항인지 거꾸로 확인하면
13-2n=0 → n=13/2
가 된다. 항번호가 자연수가 아니므로 0은 수열의 항이 아니다. 답안에는 계산 결과뿐 아니라 n이 자연수인지와 해당 항의 대입 결과까지 남아 있어야 한다.