구미동 고3 수학과외에서 다룬 구간확률의 기준 세우기
구미동에서 불곡고등학교에 다니는 학생은 방과 후 통학과 식사 시간을 제외하면 자습 시간이 길지 않아, 정규분포 문제를 풀이할 때 계산을 여러 번 반복하기보다 표준화 방향을 먼저 고정하는 연습이 필요했다. 구미마을과 건영아파트 주변에서 이동한 뒤 무지개도서관 자습 시간에 풀이를 점검했고, 분당구의 태원고등학교·분당대진고등학교·낙생고등학교·분당고등학교는 비교 대상이 아닌 같은 분당구 내 참고 학교로만 구분했다.
구간 전체를 한쪽 꼬리로 바꾼 오답
학생은 확률변수 X가 평균 70, 표준편차 10인 정규분포를 따를 때 다음을 계산했다.
X∼N(70, 102)일 때 P(60≤X≤80)
표준화 자체는 다음과 같이 시작했다.
Z=(X−70)/10
따라서 60은 z=−1, 80은 z=1이다. 그러나 학생은 중간 줄에서
P(60≤X≤80)=P(Z≤1)=Φ(1)=0.8413
이라고 썼다. 이 식은 틀렸다. P(Z≤1)은 왼쪽 전체 구간의 확률이고, 문제의 사건은 −1부터 1까지의 가운데 구간이므로 왼쪽 경계까지 반드시 빼야 한다.
표준화한 두 경계를 동시에 유지하기
학생이 틀린 줄에 표시한 뒤 평균 70을 기준으로 양쪽 경계를 각각 확인했다.
- 60≤X는 −1≤Z로 변환된다.
- X≤80은 Z≤1로 변환된다.
- 따라서 사건 전체는 −1≤Z≤1이다.
수정한 식은 다음과 같다.
P(60≤X≤80)=P(−1≤Z≤1)=Φ(1)−Φ(−1)
=0.8413−0.1587=0.6826
학생은 표의 값을 다시 대입하고, 표준정규분포 그래프에서 −1과 1 사이의 가운데 영역을 색칠해 0.6826이 약 68%라는 사실도 확인했다. 처음의 0.8413은 오른쪽 경계만 사용한 값이므로 구간확률의 정답이 될 수 없다.
평균과 표준편차를 바꾼 독립 검증
같은 풀이를 외우지 않았는지 확인하기 위해 평균과 표준편차를 바꿔 Y∼N(74,82)일 때
P(68≤Y≤82)
를 새로 계산했다.
이번에는 첫 줄부터
Z=(Y−74)/8
로 두고, 68은 z=−0.75, 82는 z=1로 바꿨다. 따라서
P(68≤Y≤82)=Φ(1)−Φ(−0.75)
=0.8413−0.2266=0.6147
이다. 평균과 표준편차가 달라지면 경계의 표준화 값도 달라지므로, 어느 한쪽 꼬리확률만 적지 않고 항상 Φ(오른쪽 경계)−Φ(왼쪽 경계)의 순서를 먼저 확인하도록 정리했다.