구미동고1수학과외, 원과 직선의 교점을 연립해 만나는 점 찾기
구미동에서 불곡고등학교 통학을 마치고 구미마을이나 무지개도서관으로 이동해 자습할 때, 학교 프린트의 풀이를 이어 쓰는 과정에서 교점 계산 한 줄이 빠지는 경우가 있다. 같은 분당구의 태원고등학교, 분당대진고등학교 등은 참고 학교일 뿐 구미동 소재 학교와는 구분해야 하며, 여기서는 학교별 출제 경향이 아니라 원과 직선의 관계를 식으로 확인하는 과정에 집중한다.
교점 계산을 건너뛰면 답의 근거가 사라진다
원의 방정식이 x^2+y^2-4x+2y-4=0, 직선의 방정식이 y=x-2인 문제를 살펴보자. 두 도형이 만나는 점은 두 식을 동시에 만족해야 하므로 직선의 식을 원의 식에 대입해야 한다.
그런데 학생의 답안에는 원의 식 다음에 곧바로 이차방정식이 적혀 있고, 두 식을 연립했다는 표시가 없다. 계산 결과만 맞더라도 어떤 조건을 사용했는지 확인할 수 없는 상태다.
빠진 줄에서 다시 시작하는 연립 과정
누락된 부분에 표시를 한 뒤 직선의 관계식부터 다시 쓴다.
y=x-2
이를 원의 방정식에 대입하면
x^2+(x-2)^2-4x+2(x-2)-4=0
괄호를 정리하면
x^2+x^2-4x+4-4x+2x-4-4=0
따라서
2x^2-6x-8=0, 즉 x^2-3x-4=0이다. 인수분해하면
(x-4)(x+1)=0
이므로 x=4 또는 x=-1이다. 각각 직선식에 넣으면 y=2, y=-3을 얻는다. 실제 교점은 (4, 2)와 (-1, -3)이다.
두 근을 좌표로 바꾸는 과정까지 연결하기
학생이 빠뜨린 것은 단순한 기호가 아니라 ‘연립한 식에서 얻은 x값을 다시 직선에 넣어 y값을 정하는 과정’이다. x=4만 계산했다면 점은 (4,2) 하나만 남고, x=-1을 누락하면 두 번째 교점을 잃게 된다.
따라서 풀이 옆에 대입한 식 → x의 두 값 → 각 x에 대응하는 y → 좌표를 짧게 연결해 적는다. 마지막에는 (4,2)와 (-1,-3)을 원의 식과 직선의 식에 각각 확인한다. 예를 들어 (4,2)는 16+4-16+4-4=0이고, (-1,-3)은 1+9+4-6-4=4가 아니라는 점에 주의해야 한다. 실제로 두 번째 계산을 다시 하면 원의 식 값은 1+9+4-6-4=4이므로 오류가 드러난다.
따라서 위 식의 전개를 다시 검산하면 2(x^2-3x-4)=0가 아니라 원래 대입식의 상수항은 4-4-4=-4이므로 2x^2-6x-4=0이다. 정리하면 x^2-3x-2=0이고, 근은 x=1±√3이다. 이에 따른 교점은 (1+√3, -1+√3), (1-√3, -1-√3)이다. 중간식을 남겨야 이런 부호 오류도 시작된 줄에서 찾을 수 있다.
순서를 섞은 풀이에서 개념을 알아보는지 확인하기
새 문제로 원 x^2+y^2=25와 직선 y=x-1을 제시한다. 풀이 조각을 다음처럼 섞어 준다.
- x^2+(x-1)^2=25
- y=x-1을 원의 식에 대입한다.
- x^2-x-12=0
- (x,y)=(4,3), (-3,-4)
학생이 이를 직선식 확인 → 대입식 작성 → 이차방정식 정리 → x값을 y에 대입해 좌표 완성의 흐름으로 재배열하는지 본다. x^2-x-12=0은 (x-4)(x+3)=0이므로 x=4,-3이고, 각각의 y값은 3,-4이다. 중간식이 유지되어 있다면 계산이 어긋났을 때 어느 줄에서 오류가 시작됐는지도 스스로 표시할 수 있다.