현저동고2수학과외

현저동고2수학과외 학습에서는 학교별 시험 범위와 평일 귀가 시간을 함께 살피되, 지수부등식 풀이에서 먼저 확인할 것은 치환한 문자의 의미와 범위다. 현저동 소재 고등학교로 확인되는 한성과학고등학교와 서대문구 내 참고 학교인 명지고등학교, 이화여자대학교사범대학부속이화금란고등학교, 가재울고등학교, 중앙여자고등학교는 구분해서 보아야 하며, 학교가 달라도 이 판단 순서는 변하지 않는다.

t=2^x를 쓰는 순간 사라지면 안 되는 조건

다음 부등식을 풀이하는 과정에서 답안의 여백에 다음과 같은 식이 남았다.

2^2x−5·2^x−6≤0

학생은 t=2^x로 치환한 뒤

t²−5t−6≤0, 즉 −1≤t≤6

이라고 구했다. 여기까지의 이차부등식 계산은 맞다. 그러나 t=2^x의 뜻을 답안에 남기지 않아 t≤0인 구간까지 허용한 셈이 되었다.

치환문자의 양수 조건을 교집합으로 처리하기

밑이 2이므로 2^x는 모든 실수 x에서 정의되고 항상 양수다. 따라서 반드시

t=2^x>0

를 함께 적어야 한다. 이 조건과 −1≤t≤6의 교집합은

0<t≤6

이다. 이제 t=2^x로 되돌리면

0<2^x≤6

이고, 왼쪽 조건은 항상 성립한다. 밑 2가 1보다 크므로 증가함수인 점을 사용하면

x≤log₂6

을 얻는다. t≤0을 해에 포함할 수 없는 이유는 계산 실수가 아니라, t가 애초에 2^x를 나타내는 양수이기 때문이다.

설명한 뜻과 식을 한 줄로 맞추는 훈련

풀이를 고칠 때는 공식을 길게 다시 쓰기보다 치환 직후 한 줄을 바꾼다.

t=2^x이므로 t>0이다.

그 다음 이차부등식의 해와 나란히 적는다.

−1≤t≤6, t>0 → 0<t≤6

이처럼 “t는 2^x이므로 양수”라고 말한 뒤 같은 뜻의 식을 바로 적으면, 치환 뒤 음수 구간을 답에 남기는 오류를 확인할 수 있다.

밑이 1보다 작은 경우에도 근거를 거꾸로 복원하기

새 조건에서는

(1/2)^2x−3(1/2)^x−4≤0

의 정답을 먼저 x≥−2라고 제시하고, 그 근거를 역으로 복원하게 한다. t=(1/2)^x라 두면 t>0이고

t²−3t−4≤0

이므로 (t−4)(t+1)≤0, 즉 −1≤t≤4이다. 양수 조건과 결합하면 0<t≤4가 된다. 밑 1/2는 0과 1 사이에서 감소하므로

(1/2)^x≤4= (1/2)⁻²

에서 부등호 방향이 뒤집혀 x≥−2가 된다.

이때 정답만 재현하는 것이 아니라 “치환문자는 양수”, “밑이 1/2라 감소”라는 두 근거를 답안에 복원했는지 확인한다.