현저동고1수학과외: 꼭짓점과 한 점으로 이차함수의 a값 정하기
학교 프린트에서 y=a(x-p)²+q 꼴의 이차함수를 만났을 때, 꼭짓점 좌표와 그래프 위의 한 점을 연결하면 a값을 결정할 수 있다. 현저동의 평일 학습에서는 학교별 시험 범위와 귀가 시간을 고려해, 이 유형을 짧은 풀이 단위로 나누어 식과 좌표의 대응을 점검하는 방식이 적절하다.
괄호의 부호가 꼭짓점의 x좌표를 바꾸지는 않는다
예를 들어 함수가
y=a(x-2)²-3
이라면 꼭짓점은 (2,-3)이다. 괄호 안의 2를 그대로 읽는 것이 아니라, 식을 y=a(x-p)²+q와 비교해야 한다. 여기서 p=2, q=-3이므로 꼭짓점은 (p,q)=(2,-3)이다.
반대로 y=a(x+2)²-3은 x+2=x-(-2)이므로 꼭짓점이 (-2,-3)이다. 괄호 안의 숫자와 꼭짓점의 x좌표가 항상 같은 것은 아니며, x-p의 형태로 바꾸어 판단해야 한다.
한 점을 대입해 a를 남기는 과정
함수 y=a(x-2)²-3의 그래프가 점 (4,5)를 지난다고 하자. x=4, y=5를 식에 대입하면
5=a(4-2)²-3
5=4a-3
8=4a
a=2
따라서 함수는 y=2(x-2)²-3이다. 꼭짓점 (2,-3)을 먼저 고정하고, 한 점의 좌표를 대입해 a만 남기는 것이 이 문제의 판단 과정이다.
실제 풀이에서 끊긴 지점
풀이를 살펴보니 괄호의 부호를 표시하지 않은 채 꼭짓점을 바로 (-2,-3)으로 적었다. 또 다음 줄로 넘어가기 전, ‘꼭짓점과 한 점을 이용해 a값 결정’이라는 조건을 다시 확인하지 않아 a를 구한 근거도 답안에 남지 않았다.
이 상태에서는 계산 능력보다 먼저 식의 구조를 읽는 단계가 필요하다. y=a(x-p)²+q에서 p와 q를 각각 표시하지 않으면, x좌표를 잘못 정한 뒤에도 이후 계산을 계속 진행하게 된다.
p와 q를 분리해 다시 대입하기
풀이할 때는 식 옆에 p=2, q=-3을 따로 적고 꼭짓점을 (2,-3)으로 기록한다. 그다음 주어진 점 (4,5)를 원래 식에 다시 넣어
5=a(4-2)²-3
을 만든다. 이렇게 하면 꼭짓점 좌표를 잘못 옮겼는지, 점의 x좌표와 y좌표를 뒤바꾸었는지를 식 안에서 확인할 수 있다.
평일 귀가 시간이 짧은 날에는 새 문제를 많이 풀기보다, 학교에서 받은 식 하나를 골라 p와 q를 표시하고 한 점을 대입하는 과정을 답안에 남기는 연습을 할 수 있다. 수행평가와 지필평가 범위가 겹치는 주간에도 이처럼 판단 지점을 분리하면 풀이 근거가 사라지는 것을 막을 수 있다.
꼭짓점과 점이 바뀐 문제에서 확인하기
변형 문제로 함수가 y=a(x+1)²+4이고 그래프가 점 (2,-5)를 지난다고 하자. x+1=x-(-1)이므로 p=-1, q=4, 꼭짓점은 (-1,4)이다.
점의 좌표를 대입하면
-5=a(2+1)²+4
-5=9a+4
-9=9a
a=-1
여기서도 괄호 안의 +1을 보고 꼭짓점 x좌표를 1로 적지 않고 -1로 해석했는지, p와 q를 구분했는지, 바뀐 점을 식에 대입해 a를 결정했는지를 확인한다. 그림이나 숫자가 달라져도 꼭짓점의 두 좌표를 p와 q로 대응시키고 한 점을 대입하는 성질을 스스로 설명하면 이 유형을 새 조건에 적용한 것이다.