도함수의 부호로 증가·감소를 다시 판단한 현저동 고3 수학과외 사례
처음 답안에서 학생은 그래프의 모양만 보고 증가 구간을 정했다. 특히 “\(f'(x)=0\)인 점이 \(-1, 3\)이므로 그 점을 기준으로 증가·감소가 나뉜다”고 썼지만, 각 구간에서 도함수가 양수인지 음수인지 확인하지 않았다.
임계점만 찾은 풀이의 오류
문제의 함수가 다음과 같이 주어졌다고 하자.
\[ f(x)=x^3-3x^2-9x+4,\qquad -2\le x\le4 \]
학생의 계산은 여기까지는 맞았다.
\[ f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3) \]
하지만 이후
\(f'(x)=0\)에서 \(x=-1,3\)이므로 \(f\)는 \([-2,-1]\), \([3,4]\)에서 증가하고 \([-1,3]\)에서 감소한다.
라고만 적었다. 이 결론은 부호를 조사하지 않은 상태의 불완전한 풀이이며, 임계점만 구했다고 증가·감소가 자동으로 결정되는 것은 아니다.
구간별 부호를 확인한 수정 풀이
먼저 수직선에 정의역의 경계와 임계점을 함께 표시한다.
\[ -2\quad|\quad -1\quad|\quad3\quad|\quad4 \]
각 구간에서 대표값을 대입하면 다음과 같다.
- \(-2
- \(-1
- \(3
따라서 정확한 결론은 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} &f(x)\text{는 }[-2,-1]\text{에서 증가하고},\\ &f(x)\text{는 }[-1,3]\text{에서 감소하며},\\ &f(x)\text{는 }[3,4]\text{에서 증가한다.} \end{aligned} \]
극대·극소값도 경계값을 빠뜨리지 않도록 계산했다.
\[ \begin{aligned} f(-2)&=2,\\ f(-1)&=9,\\ f(3)&=-23,\\ f(4)&=-16. \end{aligned} \]
그러므로 닫힌구간 \([-2,4]\)에서 최댓값은 \(9\), 최솟값은 \(-23\)이다. 학생은 재풀이 때 틀린 줄에 표시한 뒤, 임계점 확인 → 구간별 대표값 대입 → 부호표 작성 → 경계값 계산의 순서로 답안을 고쳤다. 마지막에는 \(x=0\)에서 실제로 \(f'(0)=-9<0\)인지 역대입해 감소 구간의 판단도 검산했다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 함수를 반복하지 않고 다음 문제로 판단 과정을 확인했다.
\[ g(x)=2x^3-9x^2-12x+5,\qquad -1\le x\le5 \]
도함수는
\[ g'(x)=6x^2-18x-12=6(x+1)(x-2) \]
이다. 임계점은 \(x=-1,2\)이고, 정의역의 내부 임계점은 \(x=2\)뿐이다. 구간별로 확인하면
- \(-1
- \(2
따라서 \(g(x)\)는 \([-1,2]\)에서 감소하고 \([2,5]\)에서 증가한다. 숫자와 계수는 바뀌었지만 학생은 이번에는 그래프를 먼저 추측하지 않고 도함수의 인수와 정의역 경계를 함께 표시한 뒤 부호를 판정했다.
현저동에서 고등학교 학습을 조정할 때에는 지역 내 학교인 한성과학고등학교와 같은 서대문구 내 참고 학교인 명지고등학교, 이화여자대학교사범대학부속이화금란고등학교, 가재울고등학교, 중앙여자고등학교를 구분해 확인해야 한다. 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 놓고 도함수 부호표처럼 반드시 확인해야 할 절차를 짧게 나누어 연습하는 방식이 적절하다.