연남동고2수학과외: 밑이 1보다 작을 때 지수부등식의 방향 읽기
연남동에서 학교별 시험 범위와 수행평가 일정을 함께 조정하다 보면, 짧게 끝나는 지수부등식에서 오히려 풀이 습관이 선명하게 드러난다. 대명아파트와 에덴지우아파트 생활권에서 평일 귀가 후 풀 수 있는 한두 문제를 점검하던 중, 다음 계산 줄이 남았다.
(1/2)x > (1/2)3 이므로 x > 3
답을 먼저 고치면 부등호가 그대로 남는다
이 식에서 밑 1/2는 0<1/2<1을 만족한다. 따라서 지수함수 y=(1/2)t는 t가 커질수록 값이 작아지는 감소함수다. 같은 밑의 거듭제곱을 비교할 때 지수의 대소 관계가 반대로 바뀐다.
실제로 x=4를 대입하면
(1/2)4=1/16, (1/2)3=1/8
이므로 1/16>1/8은 거짓이다. 반면 x=2이면 1/4>1/8이 참이다. 따라서 정확한 결론은
(1/2)x > (1/2)3 ⟹ x<3
이다. 풀이 중간의 부등호를 고치지 않고 답만 x<3으로 바꾸면, 왜 방향이 달라졌는지 설명할 근거가 사라진다. 이 학생은 정답 수정은 시도했지만, 밑의 조건과 부등호 변화가 일어나는 계산 줄을 연결하지 못한 상태였다.
식 옆에 밑의 범위를 먼저 남기는 연습
짧은 문제를 풀 때도 다음 순서를 답안에 남긴다.
0<1/2<1을 확인한다.- 밑이 1보다 작으므로 지수의 부등호가 반대가 된다고 표시한다.
x<3을 적고, 임의의 값 하나를 대입해 방향을 확인한다.
이때 오답 줄을 지우지 말고 옆에 밑이 0과 1 사이 → 감소 → 부등호 반대라고 적는다. 정답을 바꾸는 행동보다 부등호가 바뀐 이유를 계산 과정에 남기는 것이 목표다.
계수가 바뀐 짧은 식에서 다시 확인하기
새 문제로 (1/3)x-1 ≤ (1/3)2를 제시한다. 밑이 0<1/3<1이므로 지수 비교에서 방향을 뒤집어
x-1 ≥ 2
를 얻는다. 따라서 해는 x≥3이다. 마지막에는 x=3을 넣어 양변이 모두 1/9가 되는지 확인한다. 숫자와 지수식이 달라져도 밑의 범위를 먼저 적고, 감소 여부에 따라 부등호를 바꾸는 과정이 유지되는지 확인할 수 있다.