연남동고1수학과외 | |a|로 포물선의 폭을 표와 그래프에서 읽기
연남동에서 학교 프린트와 교과서의 이차함수 단원을 함께 정리할 때는 식을 계산하기 전에 앞의 계수 a가 포물선의 폭을 어떻게 바꾸는지 확인해야 한다. 경성고등학교와 홍익디자인고등학교는 연남동 내 학교이고, 상암고등학교·서울여자고등학교·광성고등학교는 같은 마포구의 참고 학교이므로 학교별 시험 범위와 수행평가 일정은 따로 확인해야 한다.
계산보다 먼저 읽어야 할 계수의 역할
이차함수 y=ax²에서 꼭짓점은 원점이고, a>0이면 위로, a<0이면 아래로 열린다. 그러나 포물선의 폭은 부호가 아니라 |a|의 크기로 결정된다.
- |a|가 클수록 같은 x 변화에 대한 y 변화가 커져 포물선은 좁아진다.
- |a|가 작을수록 y 변화가 작아져 포물선은 넓어진다.
- a의 부호가 바뀌면 위아래 방향만 바뀌고 폭의 정도는 같다.
표에서 드러나는 폭의 차이
y=2x²과 y=0.5x²를 비교해 보자.
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| y=2x² | 8 | 2 | 0 | 2 | 8 |
| y=0.5x² | 2 | 0.5 | 0 | 0.5 | 2 |
두 표 모두 x와 -x에서 같은 값을 가지지만, x=1일 때 첫 번째 함수는 y=2, 두 번째 함수는 y=0.5이다. 따라서 같은 높이까지 올라가는 데 필요한 가로 이동은 y=2x²가 더 작다. 그래프에서는 y=2x²가 더 좁고 y=0.5x²가 더 넓게 나타난다.
답안에서 빠진 한 줄이 판단을 흐린 장면
수업 중 한 학생은 y=-3x²과 y=-x²의 그래프를 비교하면서 계수의 부호만 보고 “둘 다 아래로 열리므로 폭도 같다”고 적은 뒤 바로 그래프를 그렸다. 답안에는 표나 점의 좌표가 없었고, |a|의 크기를 비교한 흔적도 없었다.
이 판단은 방향과 폭을 한꺼번에 처리한 데서 생긴 오류다. 두 함수 모두 아래로 열리지만 |-3|=3, |-1|=1이므로 y=-3x²가 더 좁다. 실제로 x=1일 때 함수값은 각각 -3과 -1이다. 같은 높이 y=-3에서 보면 첫 번째 함수는 x=±1이고, 두 번째 함수는 -x²=-3에서 x=±√3이므로 두 번째 그래프의 가로 폭이 더 넓다.
표와 그래프를 연결하는 풀이 흔적
문제를 풀 때 다음과 같이 짧은 근거를 먼저 남긴다.
y=-3x², y=-x²에서 부호는 모두 음수이므로 아래로 열린다. |-3|>|-1|이므로 y=-3x²가 더 좁다. x=0,1,2를 대입하면 함수값은 각각 0,-3,-12과 0,-1,-4이다.
그다음 표의 점을 좌표평면에 표시한다. 꼭짓점 주변에서 첫 번째 그래프의 점이 더 빠르게 아래로 내려가므로 폭이 좁다는 사실을 시각적으로 확인할 수 있다. 계산 중간에 성질을 고르는 대신, 부호로 방향을 판단하고 |a|로 폭을 판단하는 순서를 고정하는 것이다.
조건을 바꾼 뒤에도 같은 근거를 남기는지 확인
연습 문제의 식을 y=3x²에서 y=-3x²로 바꾸어 제시한다. 학생이 부호가 바뀌었으므로 그래프가 아래로 열린다고 말하면서도, |a|=3은 그대로라서 폭의 정도는 변하지 않는다고 설명하는지 본다. 이어 y=-0.75x²와 비교하게 하여 3>0.75이므로 y=-3x²가 더 좁다는 결론을 표와 그래프 양쪽에서 재현하게 한다.
연남동의 평일 귀가 시간이 짧거나 학교 수행평가와 지필평가가 겹치는 주간에는 한 문제를 길게 반복하기보다, 부호와 계수의 크기를 바꾼 이 비교 문제에서 같은 판단 근거가 다시 나오는지를 기록한다. 이후 재현하지 못한 문제만 남겨 표의 값과 그래프의 위치를 함께 다시 확인한다.