접선의 첫 줄을 바로잡는 연남동 고3 수학과외 풀이
연남동 고3수학과외에서는 경성고등학교와 홍익디자인고등학교의 학교별 시험 범위와 수행평가 일정을 확인하고, 평일 귀가 시간 이후에는 긴 문제보다 오답의 첫 오류를 찾는 방식으로 학습을 구성한다. 상암고등학교·서울여자고등학교·광성고등학교는 같은 마포구 내 참고 학교이며 연남동 소재 학교와는 구분해 계획을 세운다.
정답 숫자가 아니라 정의를 잘못 읽은 지점
함수 f(x)=x3-4x+1의 x=2에서의 접선 방정식을 구하는 문제를 풀던 학생은 먼저
f(2)=1, 따라서 접선의 기울기는 1이다.
y-1=1(x-2), 즉 y=x-1
이라고 적었다. 이 식은 오답이다. f(2)는 접선이 지나는 점의 세로좌표일 뿐 기울기가 아니다. 접선의 기울기는 도함숫값 f'(2)로 정해야 한다.
f'(x)=3x2-4이므로
f'(2)=12-4=8, f(2)=8-8+1=1이다.
따라서 접선은 점 (2,1)을 지나고 기울기가 8이므로
y-1=8(x-2)
y=8x-15
가 정확한 식이다. 학생은 답안의 첫 줄에 ‘점의 좌표’와 ‘접선의 기울기’를 각각 표시하고, 정의 혼동이라고 문자 메모를 남긴다.
부호표와 함수 구조까지 연결하기
도함수의 임계점도 단순 계산 결과로 끝내지 않는다.
f'(x)=3x2-4=0에서 x=±2/√3이다. 최고차항 계수가 양수이므로 부호는
- x<-2/√3에서 f'(x)>0
- -2/√3<x<2/√3에서 f'(x)<0
- x>2/√3에서 f'(x)>0
가 된다. 접선의 기준점 x=2는 증가 구간에 있으므로 접선 기울기가 양수인 것도 식과 그래프의 방향에 맞는다. 학생은 잘못된 식 y=x-1과 수정한 식 y=8x-15를 그래프에 함께 표시해 원래 곡선과 접하는 위치를 비교한다.
검산 순서를 답안에 남기기
재풀이에서는 틀린 줄에 색을 칠하는 데서 멈추지 않는다.
- 첫 오류 표시: “f(2)를 기울기로 사용함”이라고 적는다.
- 조건 확인: 접선은 (2,f(2))을 지나고 기울기는 f'(2)임을 확인한다.
- 식 수정: y-f(2)=f'(2)(x-2)에 값을 대입한다.
- 대입 검산: x=2를 넣으면 수정된 식에서 y=1=f(2)이 되는지 확인한다.
- 그래프 대조: 곡선의 x=2 부근 변화율과 접선 기울기 8의 방향이 일치하는지 살핀다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 문제를 반복하지 않고, 함수와 접점 조건을 바꿔 확인한다. g(x)=x3-6x2+9x+1의 x=3에서의 접선을 구하면
g'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3)이고, 임계점은 x=1,3이다. 또
g(3)=27-54+27+1=1, g'(3)=0
이므로 접선은
y-1=0(x-3), 즉 y=1
이다. 마지막으로 x=3을 대입해 y=1=g(3)인지 확인한다. 이번에도 답만 옮기지 않고 점의 조건, 도함숫값, 대입 검산을 문자 메모로 남기면 접선 풀이의 깨진 단계를 스스로 추적할 수 있다.