신수동고2수학과외: 시간 변수가 지수에 들어가는 이유를 식의 흐름으로 확인하기
광성고등학교를 비롯해 신수동에서 고2 수학을 공부할 때는 학교 과제와 지필평가를 오가는 과정에서 풀이의 중간 줄이 생략되기 쉽다. 특히 지수방정식 활용문제에서는 계산보다 먼저, 각 기호가 무엇을 뜻하는지 식에 반영해야 한다.
“t를 곱하면 되죠”라는 답안에서 끊긴 계산
어떤 금액이 매 기간 5%씩 증가한다고 하자. 처음 금액이 100이고, t기간 뒤 금액이 150이 되는 때를 구하는 문제는 다음과 같이 세운다.
100·1.05t=150
그런데 풀이에서 100·1.05·t=150처럼 t를 계수 자리에 넣으면 전혀 다른 상황이 된다. 이 식은 100에 1.05를 한 번 곱한 뒤 t를 다시 곱하는 형태이므로, 매 기간 5%가 반복된다는 뜻을 나타내지 못한다. t는 증가율을 곱하는 횟수이므로 1.05의 지수에 있어야 한다.
수식보다 먼저 t의 뜻을 말해 보기
풀이 줄을 건너뛰지 않고 다음 문장을 먼저 적는다.
t는 5% 증가가 반복되는 기간의 수이다.
따라서 한 기간 뒤에는 100·1.05, 두 기간 뒤에는 100·1.052, t기간 뒤에는 100·1.05t가 된다. 이 설명과 맞도록 식을 한 줄만 수정하면
100·1.05t=150
이고, 양변을 100으로 나누어
1.05t=1.5
를 얻는다. 양변에 밑이 1.05인 로그를 취하면
t=log1.051.5
=log 1.5/log 1.05≈8.31
이 값은 정확히 150이 되는 연속적인 시간을 뜻한다. 만약 t가 정수인 개월 수이고 “150 이상이 되는 최초의 달”을 묻는다면 8개월째에는 약 147.75, 9개월째에는 약 155.13이므로 답은 9개월째가 된다. 문제에서 t가 실수인지 정수인지도 마지막에 확인해야 한다.
식의 순서를 바꾸어도 같은 판단을 유지하는가
이번에는 같은 조건을 다음처럼 제시한다.
150=100·1.05t
숫자의 위치가 바뀌어도 먼저 “t는 5% 증가가 반복되는 기간의 수”라고 설명하게 한다. 그러면
1.05t=150/100=1.5
로 정리하고, t를 계수로 옮기지 않는다. 반대로 150=105t라고 쓰면 반복 증가를 선형 증가로 바꾼 것이므로 조건과 식의 의미가 일치하지 않는다.
신수동의 학교 일정처럼 과제와 시험 사이의 시간이 빠듯한 상황에서도 이 문제의 확인 지점은 길지 않다. 답안에 “t는 반복 횟수”라는 뜻을 한 번 적고, 그 설명에 맞는 지수 위치를 확인하면 된다. 마지막에는 t가 정수인지, 계산한 값이 실제 조건을 만족하는지까지 점검한다.