신수동고1수학과외, 음의 판별식과 복소수 근을 구별하는 법
광성고등학교를 비롯해 신수동에서 고등학교 수학을 공부할 때는 중학교의 “해가 없다”와 고등학교에서 배우는 “복소수 범위의 해가 있다”를 구분해야 한다. 통학과 과제, 시험 준비가 겹치는 시기에는 답만 고쳐 적기보다 근의 범위를 판단한 근거를 짧게 말하는 과정이 필요하다.
판별식이 음수인 순간 먼저 확인할 것
이차방정식 ax²+bx+c=0에서 판별식은 Δ=b²-4ac이다. 실수 범위에서는 Δ가 음수이면 실수 근이 없다. 그러나 복소수까지 허용하면 근의 공식으로 두 복소수 근을 나타낼 수 있다.
예를 들어 다음 식을 보자.
x²-4x+13=0
판별식은
Δ=(-4)²-4·1·13=16-52=-36
이므로 실수 범위에서는 해가 없다. 복소수 범위에서는
x=(4±√(-36))/2=2±3i
이다. 따라서 문제에서 실수해를 묻는다면 “실수해가 없다”고 쓰고, 복소수 범위의 근을 묻는다면 x=2+3i, 2-3i라고 써야 한다.
정답만 덮어쓴 답안에서 빠진 판단
실제 풀이에서 학생은 위 식을 계산하다가 √(-36)이 나온 줄을 지우고 답지의 2±3i만 답란에 옮겼다. 혼자 다시 풀 때도 “음의 판별식이면 실수 근이 없고, 복소수 범위에서는 근을 계속 계산한다”는 구분을 말하지 않은 채 다음 줄로 넘어갔다.
이 경우 계산 결과를 외운 흔적은 있지만, 문제의 수 체계와 판별식의 의미를 연결하지 못한 상태다. 오답의 중심은 계산 자체보다 개념·조건을 확인하지 않은 것이다. 특히 실수 범위 문제에서 2±3i를 답으로 쓰면 계산식은 맞아도 문제의 조건에 맞지 않는다.
근의 공식 앞에 범위를 문장으로 붙이기
수정할 때는 정답을 먼저 받아 적지 않고 다음 순서로 풀이를 말하게 한다.
- “판별식이 -36이므로 실수 근은 없다.”
- “복소수 범위를 허용하면 √(-36)=6i이다.”
- “따라서 근은 2±3i이다.”
이 문장을 실제 식에 연결하면 x=(4±6i)/2=2±3i가 된다. 두 근을 원래 식에 대입하면, (2+3i)²-4(2+3i)+13=0이고 (2-3i)²-4(2-3i)+13=0이므로 두 값 모두 식을 만족한다. 반대로 실수 범위만 허용할 때는 허수 단위 i가 포함된 값을 답으로 제출하지 않는다.
신수동의 시험 준비에서 적용 순서를 바꾸어 보기
학교 프린트와 교과서 문제를 짧은 시간에 번갈아 풀 때는 학생이 먼저 근의 공식을 적용할지, 판별식으로 범위를 판단할지 스스로 선택하게 한다. 판별식이 익숙하지 않은 문제라면 먼저 a, b, c를 표시하고 Δ를 계산한다. 반대로 판별식의 부호가 이미 제시된 문제라면 실수해인지 복소수해인지부터 결정한 뒤 근의 공식을 사용한다.
즉, 현재 배우는 복소수 근 계산과 앞서 배운 이차방정식의 판별식 중 어느 것을 먼저 꺼낼지 문제 조건에 맞게 조정하는 것이다. 이 순서를 말로 설명하지 않고 답만 고치는 습관이 남아 있는지 살펴본다.
처음 보는 유사문제로 확인하기
같은 식을 반복하지 않고 다음 문제를 제시한다.
2x²+4x+7=0을 복소수 범위에서 풀어 보자.
학생이 먼저
Δ=4²-4·2·7=16-56=-40
이라고 확인한 뒤 “실수 근은 없고 복소수 근을 구한다”고 말하는지 본다. 이어서
x=(-4±√(-40))/4=(-4±2√10i)/4=-1±(√10/2)i
로 정리하면 된다. 이 문제에서 실수해가 없다는 조건 판단을 빠뜨리거나 √(-40)을 계산하지 않고 멈추면 아직 같은 오류가 이어진 것이다. 반대로 개념·조건을 먼저 구분하고 계산과 표현을 마무리한다면, 답을 베껴 쓰는 방식에서 벗어나 새로운 계수에도 절차를 적용한 것으로 확인할 수 있다.