신수동 고3수학과외에서 고계도함수의 첫 규칙 점검하기
신수동에서는 지역 내 고등학교로 광성고등학교가 확인되며, 상암고등학교·서울여자고등학교·홍익대학교사범대학부속여자고등학교·경성고등학교는 같은 마포구 내 참고 학교이다. 중학교보다 이동과 과제, 시험 준비가 늘어나는 시기에는 답만 빠르게 고르기보다 풀이 첫 줄에서 어떤 미분 규칙을 적용했는지 확인해야 한다.
이계도함수와 도함수의 제곱을 바꿔 쓴 오답
학생은 다음 함수를 두 번 미분하는 문제에서 첫 번째 도함수까지는 정확히 구했다.
f(x)=(x2+1)3
곱·합성 규칙을 적용하면
f′(x)=3(x2+1)2·2x=6x(x2+1)2
하지만 이계도함수를 구하는 줄에서 다음과 같이 작성했다.
f″(x)={f′(x)}2={6x(x2+1)2}2
이 식은 오답이다. f″(x)는 f′(x)를 한 번 더 미분한 값이고, {f′(x)}2는 도함수를 제곱한 값이므로 서로 다른 대상이다. 제곱은 미분 규칙이 아니며, 두 기호를 같다고 둘 조건도 주어지지 않았다.
틀린 줄을 표시하고 원래 식으로 되돌아가기
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 식 옆에 다음 화살표를 적었다.
- f″(x) → f′(x)를 다시 미분
- {f′(x)}2 → 도함수의 제곱일 뿐, 이계도함수가 아님
그다음 곱의 미분법과 합성함수의 미분법을 분리해 적용했다.
f″(x)=6(x2+1)2+6x·2(x2+1)·2x
=6(x2+1)2+24x2(x2+1)
=6(x2+1)(5x2+1)
x=1을 대입하면 f″(1)=6·2·6=72이다. 반면 {f′(1)}2={12}2=144이므로 두 값이 다름을 확인했다. 원래 f′(x)=6x(x2+1)2에 다시 대입해 미분했는지도 역으로 확인하면서, 정답 표시만 고치는 습관 대신 조건과 식을 연결하도록 연습했다.
음함수로 바꾼 검증 문제
같은 규칙을 반복하지 않기 위해 명시적 함수가 아닌 음함수로 조건을 바꾸었다.
x2+xy+y2=7이고 점 (1, 2)에서 y″를 구하면
2x+y+xy′+2yy′=0
이므로 y′=−(2x+y)/(x+2y), 따라서 y′(1)=−4/5이다.
다시 미분하면
2+2y′+xy″+2(y′)2+2yy″=0
(x+2y)y″+2+2y′+2(y′)2=0
점 (1,2)를 대입하여
5y″+2−8/5+32/25=0
이므로 y″=−42/125이다. 여기서 (y′)2=16/25는 계산 과정의 한 항일 뿐 y″ 자체가 아니다. 식의 조건, 미분 대상, 대입 결과를 차례로 확인하면 고계도함수에서 처음 잘못 고른 규칙을 차단할 수 있다.