성산동고2수학과외

성산동고2수학과외, 시간 변수는 계수가 아니라 지수에 놓인다

학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 성산아파트·성산시영아파트 생활권에서의 평일 귀가 시간을 함께 고려하면, 지수방정식 활용문제는 계산보다 먼저 시간의 의미와 적용 범위를 확인해야 한다. 성산동 소재 고등학교로 확인되는 홍익대학교사범대학부속여자고등학교와 마포구 내 참고 학교들의 일정은 서로 다를 수 있으므로, 문제에 주어진 기간과 단위를 식에 정확히 반영하는 연습이 필요하다.

100·1.05^t에서 t를 곱셈 기호로 바꾼 풀이

어떤 금액이 매년 5%씩 증가한다고 하자. 처음 금액이 100이고 t년 후 금액이 150이 되는 시점을 구하면 모델은

100·1.05^t = 150

이다. 여기서 t는 증가를 반복한 횟수이므로 계수 100에 곱하는 값이 아니라 지수에 놓인다. 그런데 풀이 과정에서

100t·1.05 = 150

처럼 t를 계수 자리에 적으면 매년 일정한 양이 더해지는 일차 변화로 바뀐다. 이는 5% 증가라는 조건과 맞지 않는다.

반복 증가의 밑과 시간의 범위를 함께 읽기

한 해가 지날 때마다 금액에 1.05를 곱하므로 t년 후의 값은 100에 1.05를 t번 곱한 값이다. 따라서

1.05^t = 1.5

이고, 밑이 같지 않으므로 밑을 억지로 통일할 수 없다. 로그를 사용하면

t = log_1.051.5 = ln 1.5 ÷ ln 1.05

이다. 약 8.31이므로 연속적인 시간으로 해석하면 약 8.31년 후다. 만약 t를 ‘완료된 연수’로만 묻는다면 t는 0 이상의 정수여야 하며, 이때는 8년 후 금액과 9년 후 금액을 비교해야 한다.

• t = 8: 100·1.05⁸ ≈ 147.75
• t = 9: 100·1.05⁹ ≈ 155.13

따라서 150을 처음 넘어서는 정수 시점은 9년 후다. 로그로 구한 8.31과 정수 조건에서의 답 9는 시간 변수의 해석이 달라서 생기는 차이다.

숫자를 바꾼 미니문제로 식의 위치를 고정하기

훈련에서는 풀이를 시작하기 전에 다음 세 칸을 먼저 적는다.

처음값 200, 증가율 3%, 시간 t개월 → 200·1.03^t

목표 금액이 250이면

200·1.03^t = 250

이 된다. t를 계수에 넣지 않고 지수에 둔 뒤,

t = log_1.031.25

로 정리한다. 또한 t가 개월 수라면 t≥0이고, 정수 개월을 요구하는지 문제의 문장을 확인한다.

불필요한 정보가 섞인 조건에서 다시 판별하기

어떤 저축액이 처음 500만 원이고 매달 2%씩 증가한다. 통장 수수료가 매년 1,000원이며 목표액이 600만 원일 때, 수수료를 무시할 수 있다고 명시된 경우 필요한 식은

500·1.02^t = 600

이다. 수수료 정보에 끌려가 t를 계수 자리에 쓰지 않고, 반복 증가의 밑 1.02와 시간 변수의 단위인 ‘개월’을 먼저 확인해야 한다. 정수 개월을 묻는다면 t = log_1.021.2를 계산한 뒤 올림 여부를 목표액 도달 조건과 함께 판단한다.