성산동고3수학과외

성산동 고3수학과외, 고계도함수의 구조를 놓치지 않는 풀이

성산동에서 통학하는 학생은 홍익대학교사범대학부속여자고등학교의 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 고려해 학습량을 조절할 필요가 있다. 같은 마포구의 상암고등학교·서울여자고등학교·광성고등학교·경성고등학교는 참고 학교일 뿐 성산동 소재 학교와는 구분해야 한다. 수업에서는 진도보다 먼저 풀이 중 어느 미분 구조를 놓쳤는지 확인했다.

첫 도함수의 모든 변수 의존성 확인하기

학생은 다음 함수를 두 번 미분하는 문제에서 첫 줄까지는 정확하게 풀었다.

f(x)=(x²+1)e^2x

곱의 미분법을 적용하면

f'(x)=2xe^2x+2(x²+1)e^2x
=e^2x(2x²+2x+2)

그러나 학생은 다음과 같이 적었다.

f''(x)=e^2x(4x+2)

이 식은 오답이다. f'(x)는 e^2x와 2x²+2x+2의 곱인데, 학생은 앞의 지수함수만 남기고 뒤의 다항식만 미분했다. 첫 도함수에 포함된 두 인자의 x 의존성을 모두 다시 확인해야 한다.

틀린 줄을 표시하고 식을 다시 세우는 과정

학생은 오답 줄에 밑줄을 긋고, f'(x)를 곱의 형태로 되돌렸다.

f''(x)=(e^2x)'(2x²+2x+2)+e^2x(2x²+2x+2)'

각 인자를 미분하면

(e^2x)'=2e^2x,   (2x²+2x+2)'=4x+2

따라서

f''(x)=2e^2x(2x²+2x+2)+e^2x(4x+2)

f''(x)=e^2x(4x²+8x+6)

역검산으로 x=0을 대입하면 직접 계산한 f''(0)=6과 최종식 e⁰(6)=6이 일치한다. 또 f'(x)의 구조상 e^2x가 계속 남아야 하므로, e^2x가 사라진 식은 처음부터 후보에서 제외했다.

곱·몫·합성 구조를 바꾼 독립 검증

같은 함수를 반복하지 않고 다음 식으로 확인했다.

g(x)=((x²+1)sin x)/(x+2)

분자를 N(x)=(x²+1)sin x, 분모를 q(x)=x+2로 두면

N(0)=0,   N'(0)=1,   N''(0)=0,   q(0)=2,   q'(0)=1

몫의 이계도함수를 직접 전개하기보다 g=N/q의 관계를 두 번 미분해 x=0에서 계산하면

g''(0)=N''(0)/q(0)-2N'(0)q'(0)/q(0)²=0-2/4=-1/2

학생은 분자 N의 곱과 sin x의 합성 구조를 먼저 표시한 뒤, 분모의 미분을 누락하지 않고 최종값을 확인했다. 고계도함수에서는 계산 속도보다 첫 도함수의 각 인자가 다시 변하는지, 그리고 함수의 곱·몫·합성 구조가 끝까지 유지되는지를 점검하는 것이 핵심이다.