성산동고1수학과외: 근의 부호를 합과 곱으로 판별하는 연습
성산동 학교의 수학 프린트와 교과서 복습을 짧게 나누어 진행할 때, 이차방정식의 근을 직접 구하기 전에 부호부터 판단하는 문제가 자주 학습 점검 자료로 활용될 수 있다. 성산아파트와 성산시영아파트 생활권에서 귀가 후 시간이 제한된 날에는 숫자를 먼저 끼워 맞추기보다 계수와 근의 관계를 빠르게 읽는 훈련이 필요하다.
인수의 숫자부터 고른 뒤 부호를 붙인 오답
예를 들어 방정식 2x²-7x+3=0의 두 근의 부호를 묻자, 학생은 3을 만드는 인수로 1과 3을 먼저 정한 뒤 “합이 4이므로 부호는 나중에 맞추면 된다”고 적었다. 이후 인수분해를 시도하면서 부호를 감으로 붙였고, 답안 여백에는 근의 합과 곱을 확인한 흔적이 없었다.
이 식의 근을 α, β라고 하면 비에타 정리에 따라
α+β=-−7/2=7/2, αβ=3/2
이다. 곱이 양수이므로 두 근의 부호는 같고, 합이 양수이므로 두 근 모두 양수다. 실제로
2x²-7x+3=(2x-1)(x-3)
이므로 근은 1/2와 3이다. 숫자 1과 3을 먼저 고르는 것만으로는 부족하며, 계수까지 반영한 합과 곱이 부호를 결정한다.
부호는 인수분해보다 먼저 관계식으로 확인한다
이차방정식 ax²+bx+c=0에서 실근 α, β의 부호를 판단할 때는 다음 두 값을 먼저 적는다.
- α+β=-b/a
- αβ=c/a
곱이 음수이면 두 근의 부호가 서로 다르다. 곱이 양수이면 두 근의 부호가 같으며, 그때 합이 양수이면 둘 다 양수이고 합이 음수이면 둘 다 음수이다. 곱이 양수라는 사실만으로 두 근이 양수라고 결론 내릴 수 없는 이유가 여기에 있다.
곱은 같은 부호인지, 합은 그 같은 부호가 양인지 음인지 알려 준다.
빠진 확인 줄을 답안 안에 되살리기
수정할 때는 오답 계산 전체를 지우고 처음부터 숫자를 고르는 대신, 빠진 위치에 관계식을 삽입한다. 예를 들어 3x²+2x-8=0에서는
αβ=-8/3<0
이므로 두 근의 부호가 서로 다르다는 것을 먼저 표시한다. 따라서 두 인수를 모두 양의 수로 정하거나 모두 음의 수로 정하는 방식은 배제된다. 실제 인수분해는
3x²+2x-8=(3x-4)(x+2)
이고, 근은 4/3과 -2이다. 인수의 숫자를 고른 뒤 부호를 추측하는 것이 아니라, 합과 곱의 부호로 가능한 부호 조합을 좁힌 뒤 전개로 확인해야 한다.
표현이 달라져도 조건을 같은 개념으로 묶는지 확인하기
훈련 확인 문제는 식의 모양을 바꾼 4t²-4t-15=0으로 제시한다. 학생이 근을 구하기 전에
αβ=-15/4<0
를 보고 두 근의 부호가 반대라고 말하는지 확인한다. 실제로 4t²-4t-15=(2t-5)(2t+3)이므로 근은 5/2와 -3/2이다.
이후 그림이나 표처럼 표현이 달라진 문제에서는 길이·각·평행 조건을 직접 표시하게 하되, 표시된 조건 중 필요한 성질만 고르게 한다. 예를 들어 평행선에서 엇각을 판단해야 한다면 각의 위치를 표시하고, 길이 조건이면 같은 길이 표시를 따로 한다. 식의 형태나 그림의 위치가 바뀌어도 주어진 관계를 먼저 표시한 뒤 그 관계에 맞는 성질을 선택하는지가 관찰 기준이다.
짧은 학습 시간에 남길 한 줄
학교별 시험 범위와 수행평가 일정이 겹치는 주간에는 한 문제를 오래 반복하기보다, 오답이 시작된 줄에 “곱으로 같은 부호인지, 합으로 부호 방향인지 확인”을 직접 적게 한다. 다음 문제에서 계수와 문자가 바뀌어도 이 줄을 스스로 작성하고 근의 부호를 설명하면, 인수의 숫자만 먼저 정하던 풀이에서 관계를 근거로 판단하는 풀이로 전환된 것이다.