상암동고2수학과외

상암동고2수학과외에서 확인한 지수방정식의 그래프 읽기

상암고등학교의 학교 프린트와 수행평가 준비가 겹치는 주간에는 같은 지수방정식도 식의 모양이 바뀌어 제시될 수 있다. 상암8단지와 월드컵파크 일대처럼 통학·학습 일정이 서로 다른 생활권에서는 풀이 시간을 길게 확보하기보다, 그래프와 식 사이의 연결을 짧은 과정으로 정확히 남기는 것이 중요하다.

2^x = -3이라는 오답이 그래프와 충돌하는 이유

다음 방정식을 살펴보자.

2^2x - 5·2^x + 6 = 0

학생은 2^x를 t로 치환한 뒤

t² - 5t + 6 = 0

(t - 2)(t - 3) = 0

까지는 계산했다. 그러나 그래프 변형 문제에서 한 교점의 값을 옮기는 과정에서 2^x = -3이라는 후보를 찾으려 했다.

이 식은 실수 범위에서 해를 가질 수 없다. 지수함수 2^x의 값은 모든 실수 x에 대하여 양수이므로 2^x > 0이다. 따라서 치환한 변수도 t = 2^x > 0이라는 조건을 반드시 함께 가져야 한다.

치환한 이차방정식의 근을 원래 그래프에 되돌리기

위 식에서 t의 두 근은 2와 3이고 모두 양수이다. 그러므로

2^x = 2 → x = 1

2^x = 3 → x = log₂3

이 되어 실근은 2개이다. 여기서 t의 근 개수와 x의 실근 개수를 무조건 같다고 쓰는 것이 아니라, t가 2^x의 치역인 양수 범위에 속하는지 확인해야 한다.

답안에는 먼저 t = 2^x > 0을 적고, 이차방정식의 근을 구한 뒤 양수인 근만 원래 식으로 되돌린다. 예를 들어 t = -3이 나왔다면 대입 계산을 길게 하지 않아도 2^x > 0과 모순이므로 제거할 수 있다. 반대로 t = 2, 3은 각각 원래 식에 대입하여

2² - 5·2 + 6 = 0,   3² - 5·3 + 6 = 0

을 확인할 수 있다.

그래프가 바뀌어도 유지해야 하는 판단

이번에는 같은 원리를 다른 표현으로 확인한다.

y = 2^2x - 5·2^x + 6의 그래프와 x축의 교점 개수를 구한다고 하자. t = 2^x로 놓으면 t > 0이고, 교점 조건은

t² - 5t + 6 = 0

이다. 양의 t값 2와 3이 각각 x값 1, log₂3에 대응하므로 그래프는 x축과 두 번 만난다.

이때 그래프의 세로축 값을 단순히 x값으로 읽으면 안 된다. 그래프에서 먼저 y = 2^x의 양수 범위를 확인하고, 표시된 교점의 값을 2^x = t로 해석한 다음 x로 변환해야 한다.

계수와 부호가 달라진 식으로 확인하기

다음 방정식을 별도로 제시한다.

3^2x - 4·3^x - 5 = 0

u = 3^x > 0으로 두면

u² - 4u - 5 = 0

(u - 5)(u + 1) = 0

이므로 u = 5 또는 u = -1이다. 하지만 3^x = -1은 불가능하고, u = 5만 남는다. 따라서 실근은

x = log₃5

하나이다. 풀이 중에는 “두 근이 나왔으므로 실근도 2개”라고 끝내지 말고, 각 근이 지수함수의 치역에 들어가는지 표시해야 한다.