상암동고1수학과외, 판별식 0으로 계수 범위와 중근 판단하기
상암고등학교 학교 자료를 정리하던 중, 다음 이차방정식의 계수 범위를 묻는 문항에서 풀이가 멈췄다.
x² - 2x + k = 0이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 실수 k의 범위를 구하여라.
이 문제에서 판별식은 Δ=(-2)²-4·1·k=4-4k=4(1-k)이다. 학생은 여기까지 계산한 뒤 답안에 식만 남기고 다음 줄로 넘어갔다. 판별식 값과 해의 개수를 연결하는 문장이 빠져 있었기 때문에, k의 범위를 결정하지 못했다.
중근은 범위를 가르는 경계값이다
이차방정식 ax²+bx+c=0에서 판별식은 Δ=b²-4ac이다. Δ>0이면 서로 다른 두 실근, Δ=0이면 중근 하나, Δ<0이면 실근이 없다.
따라서 주어진 문제에서 서로 다른 두 실근을 원하면
4(1-k)>0
이어야 한다. 4는 양수이므로 1-k>0, 즉 k<1이다. k=1일 때는 Δ=0이므로 근은 하나이며, 실제 식도 x²-2x+1=(x-1)²이 되어 중근 1을 갖는다. 이 값이 바로 서로 다른 두 근과 실근이 없어지는 상황 사이의 경계다.
계산 뒤에 부호와 해의 개수를 붙이는 기록
학생의 답안에는 다음 네 줄을 한 덩어리로 남기게 했다.
- Δ=4-4k=4(1-k)
- 서로 다른 두 실근 조건: Δ>0
- 4(1-k)>0, 따라서 k<1
- k=1이면 Δ=0이므로 중근, k>1이면 Δ<0이므로 실근이 없다
이렇게 쓰면 판별식 계산과 계수 범위가 따로 떨어지지 않는다. 특히 문제에서 “중근을 갖는 k”를 물었다면 부등식이 아니라 Δ=0을 사용하여 4-4k=0, 따라서 k=1이라고 답해야 한다. 질문의 해의 개수에 따라 Δ의 부호가 달라진다는 점을 먼저 표시하는 것이 관건이다.
상암동의 주간 학습 자료에 적용하는 짧은 점검
상암8단지나 월드컵파크 생활권에서 귀가 후 확보한 시간이 짧은 날에는 학교 프린트의 계산 문제만 연속해서 풀기보다, 한 문항의 조건과 판별식 부호를 함께 기록하는 방식이 효율적이다. 상암고등학교 자료와 마포구 내 참고 학교 자료는 서로 다른 학교의 문제이므로 출제 경향을 같다고 단정하지 않고, 각 자료에 나온 질문 표현에 맞춰 “두 실근”, “중근”, “실근 없음”을 구분해 읽는다.
형식이 달라져도 같은 판단을 하는지 확인
복습 뒤에는 다음처럼 표현을 바꾼 문항을 제시한다.
방정식 x²+2x+m=0이 실근을 갖지 않도록 하는 m의 범위를 구하고, 경계값에서의 근의 종류를 설명하여라.
판별식은 Δ=2²-4m=4-4m이다. 실근이 없으려면 Δ<0이므로 m>1이다. 경계값 m=1에서는 x²+2x+1=(x+1)²이 되어 중근 -1을 갖는다. 학생이 숫자와 식의 모양이 바뀐 뒤에도 먼저 “실근 없음이므로 Δ<0”을 적고 부등식을 세운다면, 이전 문제를 외운 것이 아니라 판별식과 해의 개수의 관계를 적용한 것이다.
복습을 더할지 현행 개념을 보완할지
새 문제를 푼 뒤 학생이 스스로 풀이를 멈출 기준은 정답 하나가 아니라 절차의 재현 여부다. 판별식의 부호, 해의 개수, 계수 범위를 연결해 설명했다면 해당 복습을 마친다. 반대로 부등식 계산에서 계속 막히거나 문자식 정리, 방정식 변형, 그래프에서 부호 변화를 읽는 과정이 흔들리면 중1 전 범위를 앞서 복습하기보다 현재 이차방정식 문제에 필요한 문자식·방정식·그래프 부분부터 보완한다.