상암동고3수학과외

상암동 고3수학과외에서 확인한 음함수 미분의 조건과 검산

상암동에서는 상암고등학교가 지역 내 고등학교로 확인되며, 서울여자고등학교·광성고등학교·홍익대학교사범대학부속여자고등학교·경성고등학교는 같은 마포구 내 참고 학교이다. 학교별 내신 일정과 학생의 주간 학습 시간은 다를 수 있어, 수업에서는 일정 자체보다 풀이 과정에서 조건을 놓치는 지점을 먼저 확인했다.

분모 조건을 확인하지 않아 생긴 오답

학생은 다음 음함수의 그래프 위 점 (2, 1)에서 미분계수를 구했다.

문제: (x+y²)²/(x-y)=9에서 (2,1)에서의 dy/dx를 구하여라.

먼저 식의 정의 조건은 x-y≠0이다. 주어진 점에서는 2-1=1이므로 식이 정의된다. 분모를 없애면

(x+y²)^2}=9(x-y)

이다. 양변을 미분하면

2(x+y²)(1+2yy')=9(1-y')

가 된다. 그런데 학생은 오른쪽의 9(x-y)를 미분하면서 다음과 같이 적었다.

2(x+y²)(1+2yy')-9=0

이는 틀린 식이다. 9(x-y)의 미분은 9(1-y')이므로, y' 항인 +9y'를 반드시 포함해야 한다. 학생은 이전 문항에서 사용한 경계와 계산 형태를 그대로 적용하면서 새 식의 변수 관계를 다시 확인하지 않았다.

y'의 계수를 모아 해를 결정하는 과정

올바른 식에 (x,y)=(2,1)을 대입하면

2·3(1+2y')=9(1-y')

6+12y'=9-9y'

21y'=3

이므로

y'=1/7

이다. 학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 분모가 0이 되는 값과 양변의 곱셈 구조를 다시 확인했다. 그 다음 곱의 미분을 각각 적용하고, 모든 y' 항을 한쪽으로 모은 뒤 원래 미분식에 y'=1/7을 역대입했다.

2·3(1+2/7)=26/7이고 9(1-1/7)=54/7처럼 보일 수 있으므로 계산을 다시 살펴야 한다. 실제로 좌변은 6(1+2/7)=54/7이다. 따라서 양변이 일치하며, 계산 과정의 수치 대입도 통과한다. 그래프를 그릴 때에는 x=y인 직선은 원래 식에서 제외된다는 점도 함께 표시한다.

조건을 바꾼 독립 검증

같은 풀이를 반복하지 않도록 식과 점을 바꾸어 검증했다.

검증 문제: (2x-y²)³/(x+y)=1/2에서 점 (1,1)의 음함수 미분계수를 구하여라. 단, x+y≠0이다.

분모를 없애면

(2x-y²)³=(1/2)(x+y)

이고, 미분하면

3(2x-y²)²(2-yy')=(1/2)(1+y')

이다. (1,1)을 대입하면

3(2-y')=(1/2)(1+y')

6-3y'=1/2+y'/2

11/2=7y'/2

따라서 y'=11/7이다. 점에서는 x+y=2≠0이므로 후보가 제외되지 않는다. 학생은 이번에는 합성함수의 안쪽 미분계수 2-yy'와 분모 제거 뒤 생긴 1+y'을 각각 표시하고, 최종값을 원래 미분식에 다시 대입해 두 항이 일치하는지 확인했다.