상수동고2수학과외

상수동고2수학과외, 지수방정식의 실근 개수는 그래프와 부호로 확인합니다

상수동에서는 방과 후 이동 뒤 확보한 자습시간에 학교 프린트의 풀이 줄을 그대로 재현하기보다, 어느 줄에서 해의 가능성을 잘못 판단했는지 표시하는 연습이 필요합니다. 상수동 주소에 고등학교가 확인된 것은 아니므로, 마포구 내 상암고등학교·서울여자고등학교·광성고등학교 등 통학권 참고 자료를 기준으로 학교별 문제 형식이 다를 수 있다는 점도 고려해야 합니다.

2^x=−3에서 멈추지 못한 풀이

다음 식을 그래프로 해석하는 과정에서 오답이 발생할 수 있습니다.

2^x=−3

풀이 첫 줄에 “x=log₂(−3)”이라고 적으면 안 됩니다. 로그의 진수 −3은 양수가 아니며, 더 직접적으로는 모든 실수 x에 대해

2^x>0

이므로 좌변이 음수가 될 수 없습니다. 따라서 이 방정식의 실근은 없습니다.

그래프의 교점 수를 계산 줄과 연결하기

함수 y=2^x의 그래프는 x축 위에만 있고, x가 증가할수록 계속 증가합니다. 수평선 y=−3과는 만날 수 없으므로 교점은 0개입니다. 여기서 “로그를 사용할 수 없으니 계산을 못 한다”가 결론이 아니라, 지수함수의 치역이 양수라는 조건이 실근 개수를 결정합니다.

반대로 2^x=3에서는 수평선 y=3이 그래프와 한 번 만납니다. 밑 2가 1보다 크므로 2^x는 증가함수이고, 실근은 정확히 1개입니다. 값까지 구하면 x=log₂3입니다.

오답 줄만 남겨 조건을 붙이는 훈련

풀이 전체를 지우지 않고 문제가 된 줄을 다음처럼 고쳐 씁니다.

잘못된 줄: 2^x=−3 → x=log₂(−3)

조건을 붙인 줄: 2^x>0인데 −3<0이므로 실근 없음

이후 그래프에서 y=2^x와 y=−3의 교점이 0개인지 확인합니다. 계산 결과만 적는 것이 아니라, 부호 조건과 교점 개수를 같은 줄에 연결해야 근거가 남습니다.

부호가 바뀐 식에서도 교점 수를 다시 판단하기

확인 문제로 3^x=−2를 제시합니다. 이전 식의 숫자를 외워 답하지 않고, 3^x>0이라는 조건을 먼저 적어야 합니다. 따라서 y=3^x와 y=−2는 만나지 않으며 실근은 0개입니다.

반면 3^x=2라면 y=2와 한 번 만나므로 실근은 1개입니다. 두 식에서 부호만 달라졌을 때 그래프의 수평선 위치와 실근 개수가 함께 바뀌는지 확인하면, 지수방정식의 답을 억지로 만들어 내는 오류를 줄일 수 있습니다.