상수동고3수학과외

상수동에서 통학 후 이어지는 고3 수학 오답 정리

상수동에는 해당 지역명 주소로 확인되는 고등학교가 없으므로, 같은 마포구의 상암고등학교·서울여자고등학교·광성고등학교·홍익대학교사범대학부속여자고등학교·경성고등학교 등을 통학권 참고 대상으로 볼 수 있다. 통학과 방과후 이동 뒤 확보한 자습 시간에는 풀이량보다 한 줄의 미분식이 원식과 맞는지 확인하는 훈련이 중요하다.

y항을 빠뜨린 순간부터 틀린 음함수 미분

학생은 다음 곡선 위의 점에서 접선의 기울기를 구하는 문제를 풀었다.

x²+xy+y²=7,　(1,2)에서의 접선의 기울기

풀이 중 다음 줄을 적었다.

2x+xy′+y²=0

이 식은 오답이다. xy를 미분할 때는 곱의 미분법을 적용해야 하므로 xy′만 남는 것이 아니라 x′y+xy′=y+xy′가 되어야 한다. 또한 y²의 미분은 2yy′이므로 y항이 여러 개인 원식에서 y′가 붙은 항을 일부만 쓰면 안 된다.

원식의 각 항을 따로 미분해 구조를 보존하기

학생은 틀린 줄에 사선을 긋고, 원식의 항을 다음처럼 나누어 확인했다.

• x² → 2x
• xy → y+xy′
• y² → 2yy′
• 상수 7 → 0

따라서 정확한 식은

2x+y+xy′+2yy′=0

이다. y′가 포함된 항을 한쪽으로 모으면

(x+2y)y′=-(2x+y)

이므로

y′=-(2x+y)/(x+2y)

가 된다. 점 (1,2)를 대입하면

y′=-4/5

이다. 학생은 마지막에 점 (1,2)가 원식에 실제로 들어가는지도 확인했다. 1+2+4=7이므로 점의 조건도 만족한다. 접선은

y-2=-4/5(x-1)

로 정리된다.

식과 그래프의 방향을 함께 검산하기

수정한 기울기 -4/5는 x가 증가할 때 y가 감소하는 값이다. 따라서 (1,2) 주변 그래프가 오른쪽 아래로 향해야 한다. 학생은 원식을 F(x,y)=x²+xy+y²-7로 놓고

F_x=2x+y,　F_y=x+2y

를 계산한 뒤 y′=-F_x/F_y에 대입하여 같은 -4/5가 나오는지 역검산했다. 이후 오답 노트에는 “xy와 y²에서 y′를 일부만 쓰지 말고, 모든 y항을 항별로 미분한다”라고 한 문장으로 남겼다.

경계값을 바꾼 독립 검증

같은 문제를 반복하지 않고 다음 식으로 조건을 바꾸어 확인했다.

x²+2xy+3y²=12,　(0,2)에서의 y′

항별 미분 결과는

2x+2(y+xy′)+6yy′=0

이며, y′항을 정리하면

(2x+6y)y′=-(2x+2y)

이다. (0,2)를 대입하면 12y′=-4이므로 y′=-1/3이다. 실제로 점은 0+0+12=12를 만족하고, 분모 2x+6y=12도 0이 아니다. 새 계수와 경계점에서도 모든 y항의 미분 결과를 빠짐없이 포함했는지 확인한 뒤 풀이를 마쳤다.