상수동고1수학과외: 두 근의 합과 곱으로 이차방정식 세우기
마포구 상수동에서 학교와 귀가 동선이 이어진 뒤 짧은 자습 시간이 남는 경우, 이차방정식의 답안을 계산 결과만 적는 연습으로 끝내지 않도록 해야 한다. 특히 두 근의 합과 곱이 주어졌을 때 원래 방정식을 다시 구성하는 과정에서는 ‘어떤 수량을 구했고, 그 수량으로 어떤 식을 만드는지’가 분명해야 한다.
빠진 한 줄 때문에 방정식이 완성되지 않은 답안
예를 들어 두 근이 α, β이고
α + β = 7, αβ = 10
이라고 하자. 두 근을 근으로 갖는 이차방정식은
x² - (α + β)x + αβ = 0
이므로
x² - 7x + 10 = 0
이다. 그런데 학생의 답안에는 합과 곱을 적은 줄 없이 곧바로 x² - 7x + 10 = 0만 쓰여 있었다. 답 자체가 맞더라도, 주어진 두 근의 관계에서 방정식의 계수를 구성한 과정이 드러나지 않아 다음 문제에서 수량을 잘못 연결할 가능성이 있다.
합은 x의 계수, 곱은 상수항으로 연결한다
두 근이 α, β인 이차방정식은 인수 형태로
(x - α)(x - β) = 0
이라고 쓸 수 있다. 전개하면
x² - (α + β)x + αβ = 0
이 된다. 따라서 답안에서는 먼저 α + β와 αβ를 각각 구한 뒤, 합은 일차항의 계수에 음수로, 곱은 상수항에 그대로 넣어야 한다.
학생이 표시하지 않은 단계는 다음처럼 복원한다.
- α + β = 7
- αβ = 10
- x² - (α + β)x + αβ = 0
- x² - 7x + 10 = 0
이때 합과 곱을 먼저 분리해 적으면 7을 상수항에 넣거나 10을 일차항 계수로 옮기는 오류를 줄일 수 있다. 두 근이 실제로 5와 2라면 합은 7, 곱은 10이고, (x - 5)(x - 2)를 전개해도 x² - 7x + 10이 되어 관계를 검산할 수 있다.
오답이 난 줄부터 다시 구성하기
오답을 고칠 때 전체 풀이를 처음부터 베껴 쓰지 않고, 빠진 위치에 표시를 남긴다. 예를 들어 다음과 같은 문제가 있었다고 하자.
“두 근의 합이 -4이고 곱이 -21인 이차방정식을 구하여라.”
학생이 x² - 4x - 21 = 0이라고 썼다면, 합 -4를 부호까지 반영하지 않은 것이다. 빠진 구성 줄을 먼저 넣으면
α + β = -4, αβ = -21
x² - (α + β)x + αβ = 0
x² - (-4)x - 21 = 0
따라서 정확한 식은 x² + 4x - 21 = 0이다. 실제로 (x - 3)(x + 7)=0을 전개하면 이 식이 되고, 두 근 3과 -7의 합은 -4, 곱은 -21이다.
숫자를 전부 쓰지 않고 관계만 골라 세우는지 확인하기
일주일 뒤 오답을 다시 꺼낼 때는 같은 수를 반복하지 않는다. 예를 들어 다음 조건을 제시한다.
두 근 중 하나는 다른 하나보다 6만큼 크고, 두 근의 곱은 16이다. 두 근을 근으로 갖는 이차방정식을 구하여라.
필요한 관계만 골라 작은 근을 t라고 두면 다른 근은 t + 6이다. 곱 조건에서
t(t + 6) = 16
t² + 6t - 16 = 0
이므로 t = 2 또는 -8이다. 이에 따라 근의 쌍은 (2, 8) 또는 (-8, -2)가 된다. 각각의 방정식은
- x² - 10x + 16 = 0
- x² + 10x + 16 = 0
이다. 이 과정에서 학생이 문장 속 숫자를 모두 나열하는 대신 ‘차이 6’과 ‘곱 16’이라는 필요한 관계를 식으로 만들고, 마지막에 합과 곱을 이용해 방정식을 구성하는지 확인한다.