마포동고2수학과외

마포동 고2수학과외: 공통 지수항을 묶고 원식까지 복원하는 지수방정식 풀이

마포동에는 해당 지역명 주소로 확인된 고등학교가 없으므로, 마포구 내 상암고등학교·서울여자고등학교·광성고등학교 등을 통학권 참고 학교로 볼 수 있다. 귀가 시각과 과제량이 다른 상황에서도 지수방정식은 풀이 순서를 짧게 유지해야 한다. 특히 항의 모양이 달라 보여도 같은 지수항을 찾아내는 판단이 먼저다.

2^x를 놓치면 서로 다른 항처럼 보인다

다음 식에서 학생은 첫 줄에 공통 지수항을 묶지 않았다.

3·2^x + 2^x+1 = 20

학생의 풀이에는 “3·2^x와 2^x+1은 서로 다른 항이므로 따로 계산한다”는 식의 판단이 나타났다. 그러나 지수법칙에 따라

2^x+1 = 2·2^x

이므로 두 항 모두 2^x를 포함한다. 공통항을 묶으면

3·2^x + 2·2^x = 20

(3+2)2^x = 20

5·2^x = 20

2^x = 4 = 2²

따라서 x=2이다. 이때 2^x는 항상 양수이므로 2^x=4는 지수방정식의 조건에도 맞는다.

치환은 계산을 줄이는 동시에 원래 식과 연결하는 장치다

풀이 첫 줄에 t=2^x라고 두면 t>0임을 함께 기록할 수 있다. 그러면 원래 식은

3t + 2t = 20

5t=20, t=4

가 된다. 이제 치환을 되돌려

2^x=4=2²

에서 x=2를 얻는다. t=4를 적고 끝내면 x의 값을 구한 것이 아니므로, 반드시 원래 지수식으로 돌아가야 한다.

대입 검산도 가능하다.

3·2² + 2²⁺¹ = 12+8=20

따라서 구한 해는 원식에 정확히 들어맞는다. 계산 중 공통항을 묶지 않은 줄이 발견되면 그 줄부터 지우고, 2^x+1을 2·2^x로 바꾼 뒤 다시 전개한다.

계수와 부호가 바뀌어도 같은 판단을 유지하기

표현이 달라진 식에서도 같은 절차가 작동하는지 확인한다.

5·3^x − 3^x+1 = 18

3^x+1=3·3^x이므로

5·3^x − 3·3^x = 18

2·3^x = 18

3^x = 9 = 3²

따라서 x=2이다. 원식에 대입하면

5·9 − 27 = 45−27=18

로 확인된다. 계수가 더해지는지, 부호에 따라 빼지는지는 공통 지수항을 묶은 뒤의 괄호에서 결정된다. 이 과정을 거치면 숫자나 밑이 바뀌어도 지수항을 먼저 찾고, 치환을 되돌린 다음, 원식으로 역검산하는 풀이가 이어진다.