앞 문제의 결론을 복사하지 않는 매개변수 미분 점검
마포동에는 해당 지역명 주소로 확인된 고등학교가 없으므로, 같은 마포구의 상암고등학교·서울여자고등학교·광성고등학교 등을 통학권 참고 대상으로 볼 수 있다. 학교 선택보다 귀가 후 과제량과 시험 준비 순서를 점검하는 과정에서, 이 학생은 첫 조건 판단을 혼자 시작할 때 자주 멈춘다.
분자와 분모를 먼저 확인해야 하는 이유
학생은 다음 매개변수 함수에서 앞 문제의 해를 그대로 옮겼다.
x = (sint)2 / sint, y = (1 + cost)3
학생의 오답: x = sint이므로 dx/dt = cost, dy/dt = -3(1 + cost)2sint이다. 따라서 dy/dx = 0에서 sint = 0이므로 t = 0을 답으로 썼다.
이 식은 정답이 아니다. 원래 x의 분모가 sint이므로 먼저 sint ≠ 0이어야 한다. 또 매개변수 미분을 하려면 dx/dt = cost ≠ 0이어야 한다.
조건을 반영한 식의 재작성
조건을 표시한 뒤 계산 줄을 다시 쓰면
x = sint (sint ≠ 0)
dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = -3(1 + cost)2sint / cost
dy/dx = 0이 되려면 sint = 0 또는 cost = -1이어야 한다. 그러나 두 경우 모두 sint = 0이므로 원래 분모 조건을 위반한다. 따라서 가능한 t는 없다.
- □ 원래 분모 sint ≠ 0
- □ 미분 분모 cost ≠ 0
- □ 후보를 원래 식에 대입
t = 0을 원래 식에 대입하면 x = 02/0이 되어 정의되지 않는다. 이 역검산으로 학생은 계산 결과보다 함수의 정의 조건이 먼저라는 점을 확인했다.
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 식과 미분 차수를 바꾸어 확인했다.
x = (1 - cost)2/(1 - cost), y = (2 + sint)3
정의 조건은 1 - cost ≠ 0이고, 정리하면 x = 1 - cost이다. t = π/2에서는 dx/dt = sint = 1이므로 미분 가능하다.
dy/dx = 9(2 + sint)2cott이고, 이를 다시 x에 대해 미분하면 t = π/2에서
d2y/dx2 = -81
이다. 새 조건에서도 분모의 정의 여부와 dx/dt ≠ 0을 먼저 확인한 뒤 도함수 차수를 올려 검산했으므로, 앞 문제의 해를 무조건 반복하지 않고 구조를 다시 판단할 수 있다.