마포동고1수학과외: 한 근에서 다른 근을 찾는 두 가지 판단
마포동고1수학과외 학습에서는 정답을 적는 데서 멈추지 않고, 주어진 한 근으로부터 다른 근을 어떻게 찾았는지 설명하는 연습이 필요하다. 마포동에 해당 지역명 주소의 고등학교가 확인된 것은 아니므로, 같은 마포구의 상암고등학교·서울여자고등학교·광성고등학교 등을 참고한 통학권 학습 상황에서는 귀가 후 제한된 시간에도 풀이 방법을 비교하는 습관을 남기는 것이 유용하다.
주어진 근을 대입한 뒤 바로 계산한 답안
방정식 2x²-7x+3=0의 한 근이 x=3이라고 하자. 다른 근을 구하는 문제에서 학생은 답안에 다음처럼 적었다.
“한 근이 3이므로 다른 근은 1이다.”
결과는 맞지만, 왜 1인지 근거가 없다. 학생은 근의 합을 이용했는지, 인수분해했는지 말로 확인하지 않은 채 다음 계산으로 넘어갔고, 답의 범위나 부호를 마지막에 따로 점검하지도 않았다. 현재 상태는 공식을 전혀 모르는 것이 아니라, 주어진 근과 방정식의 계수 사이 관계를 비교하는 기준이 아직 고정되지 않은 상태에 가깝다.
근의 합과 인수분해를 나란히 놓기
이 방정식의 두 근을 α, β라 하면 근과 계수의 관계에서
α+β=−(-7)/2=7/2
이다. α=3이므로
3+β=7/2, 따라서 β=1/2이다.
인수분해로도 같은 결론을 얻는다.
2x²-7x+3=(2x-1)(x-3)
따라서 두 근은 x=1/2, x=3이고, 주어진 근이 3일 때 다른 근은 1이 아니라 1/2이다. 이 사례에서 학생의 답이 맞지 않았던 이유는 계산 중 근의 합 관계를 실제로 적용하지 않았기 때문이다.
풀이 선택을 말로 고정하는 짧은 기록
학교 과제량과 귀가 시각을 고려해 긴 해설 대신 답안 옆에 다음 한 줄을 먼저 쓰게 한다.
- “두 근의 합을 이용하면 다른 근 = 7/2−3=1/2.”
- “인수분해하면 (2x−1)(x−3)=0이므로 주어진 근 3을 제외한 근은 1/2.”
두 방법은 결과만 같은 것이 아니라 확인하는 정보가 다르다. 근의 합 방법은 최고차항 계수와 일차항 계수의 비를 사용하고, 인수분해 방법은 두 인수의 영점과 주어진 근을 직접 대응시킨다. 어느 방법을 택했는지 적으면 답만 반복하는 행동에서 벗어나게 된다.
끝에서 근의 범위와 부호를 확인하기
근이 1/2와 3이므로 두 근 모두 양수이고, 다른 근은 주어진 근 3보다 작다. 또 원래 식에 대입하면
2(1/2)²−7(1/2)+3=1/2−7/2+3=0
이므로 계산이 맞다. 만약 문제에서 “다른 양의 근” 또는 “3보다 작은 근”처럼 조건을 추가했다면 1/2가 그 조건에도 맞는지 함께 적어야 한다. 방정식의 근을 구하는 것과 문제에서 요구한 근을 선택하는 것은 별개의 판단이다.
조건이 바뀐 서술형 문항으로 확인하기
새 문항으로 3x²+mx−8=0의 한 근이 −2이고, 다른 근이 양수일 때 다른 근과 m을 구하게 한다. 먼저 학생이 “한 근을 대입해 m을 구할지, 근의 합을 이용해 다른 근을 찾을지”를 말로 선택하는지 본다.
−2를 대입하면
3(−2)²+m(−2)−8=0
12−2m−8=0이므로 m=2이다.
두 근의 곱은 −8/3이므로, 한 근이 −2일 때 다른 근을 β라 하면
(−2)β=−8/3, 따라서 β=4/3이다.
학생이 새 숫자와 추가 조건에서도 방법을 먼저 선택하고, 다른 근의 부호와 조건을 확인한 뒤 원래 방정식에 대입해 검산한다면 수행평가 피드백이 실제 풀이 순서로 옮겨진 것으로 판단한다.