대흥동고2수학과외

대흥동 고2수학과외, 공통 지수항을 묶기 전 확인할 것

숭문고등학교의 과제와 지필평가를 함께 준비할 때는 귀가 후 풀이량보다 식을 어떤 형태로 바꾸는지가 먼저 드러난다. 대흥동 생활권에서 귀가 시간이 일정하지 않은 날에도 지수방정식 한 문제를 풀 때 밑과 공통 인수 여부를 먼저 확인하는 습관이 필요하다.

서로 다른 항처럼 계산한 지수방정식

다음 식에서 풀이가 멈췄다.

3·2^x + 2^x+1 = 20

답안에는 2^x와 2^x+1을 서로 다른 항으로 보고 각각 계산하려는 흔적이 남았다. 하지만 두 항은 밑이 모두 2이고, 지수법칙에 따라

2^x+1 = 2·2^x

로 바꿀 수 있다. 따라서

3·2^x + 2^x+1 = 3·2^x + 2·2^x = 5·2^x

이고,

5·2^x = 20 → 2^x = 4 = 2² → x = 2

이다. 이 과정에서 공통 지수항을 묶으려면 두 항을 같은 밑의 지수식으로 나타낼 수 있어야 한다. 예를 들어 2^x + 3^x에서는 밑이 다르므로 2^x를 공통 인수처럼 묶을 수 없다. 밑 통일이 가능한지 먼저 판단하지 않고 형식적으로 묶는 것은 올바른 인수분해가 아니다.

계산줄 앞에 네모 조건을 남기는 훈련

풀이를 시작하기 전에 답안 위에 다음 세 가지를 네모로 적는다.

□ 밑이 같은가
□ 지수의 차이를 계수로 바꿀 수 있는가
□ 묶은 뒤 지수항의 값이 양수 조건을 만족하는가

위 문제에서는 밑이 2로 같고, 2^x+1=2·2^x로 바꿀 수 있다. 또 2^x>0이므로 5·2^x=20에서 얻은 2^x=4도 허용된다. 조건을 확인한 뒤에만 공통 지수항을 묶고, 마지막에는 3·2²+2³=12+8=20으로 원식에 대입한다.

범위 조건까지 겹치는지 확인하는 변형 문제

다음 식을 혼자 정리하게 한다.

0 < x < 2,　2^x+1 + 2^x = 6

밑이 같으므로

2·2^x + 2^x = 3·2^x = 6

이다. 따라서 2^x=2이므로 x=1을 얻는다. 마지막에는 방정식의 해 x=1이 주어진 범위 0<x<2에 포함되는지 확인한다. 이때 공통항을 묶는 것뿐 아니라, 계산한 해와 문제의 범위가 실제로 겹치는지까지 스스로 표시해야 풀이가 끝난다.