대흥동고1수학과외, 문자계수 방정식이 이차식이 되는 조건
숭문고등학교 과제와 귀가 후 학습 시간을 함께 점검할 때, 문자 하나가 계수로 들어간 방정식은 계산보다 먼저 차수를 확인해야 한다. 대흥동 생활권에서 짧은 시간에 문제를 풀더라도 x²의 계수가 0인지 아닌지를 먼저 판단해야 풀이 방향이 달라지지 않는다.
계산보다 앞서 확인해야 하는 x²의 계수
다음 방정식을 보자.
(a-2)x²+5x-6=0
이 식이 이차방정식이 되려면 x²의 계수인 a-2가 0이 아니어야 한다. 따라서
a-2≠0, 즉 a≠2
일 때만 이차방정식이다. a=2를 대입하면 식은 5x-6=0이 되어 일차방정식으로 바뀐다. 문자 a의 값에 따라 같은 식의 차수가 달라지는 것이다.
정답을 맞혀도 빠져 있던 한 줄
관찰한 답안에는 위 식을 보고 곧바로 인수분해나 근의 공식을 적용한 흔적만 있었다. a≠2라는 조건을 적지 않고 다음 계산으로 넘어갔으며, 맞힌 문제에서도 왜 이차방정식으로 다룰 수 있는지 근거를 남기지 않았다.
“x²의 계수 a-2가 0이 아니므로 a≠2일 때 이 식은 이차방정식이다.”
이 한 줄이 있어야 문자값에 따라 식의 차수가 바뀌는 지점을 확인했다는 사실이 드러난다. a=2인 경우에는 근의 공식이 아니라 일차방정식 5x-6=0으로 처리해야 하므로, 조건을 생략하면 풀이 방법 자체가 잘못될 수 있다.
말로 조건을 설명한 뒤 계산으로 이동하기
훈련에서는 식을 보자마자 계산하지 않고 먼저 다음 순서로 말하게 한다.
- x²의 계수는 a-2이다.
- 이차방정식이 되려면 a-2≠0이어야 한다.
- 따라서 a≠2이고, 이 조건에서만 이차방정식의 풀이를 시작한다.
예를 들어 a=5라면 식은 3x²+5x-6=0이므로 이차방정식이다. 반대로 a=2라면 5x-6=0이므로 이차방정식이 아니다. 문자값을 실제로 대입해 차수가 바뀌는 모습을 확인하면 조건이 단순한 문구가 아니라 계산을 결정하는 기준임을 알 수 있다.
계수의 구성 과정을 거꾸로 확인하기
조건을 바꾼 확인 문제에서는 x²의 계수를 소인수의 곱으로 제시한다.
(2²×3×(b-1))x²-4x+7=0
소인수 부분을 먼저 곱하면 2²×3=12이므로 x²의 계수는 12(b-1)이다. 이 식이 이차방정식이 되려면
12(b-1)≠0
이어야 하고, 12는 0이 아니므로 b≠1이다. 소인수분해 결과를 역으로 곱해 계수를 복원한 뒤, 그 계수가 0이 되는 조건을 찾는 방식이다. 인수의 제시 순서를 (b-1)×3×2²처럼 섞어도 같은 계수 12(b-1)을 만들어야 한다.
검산의 기준을 계산 반복에서 조건 확인으로 바꾸기
새 문제에서 학생이 확인할 것은 답을 다시 계산했는지가 아니다. 소인수들을 빠뜨리지 않고 곱했는지, 지수 2를 2로 잘못 읽지 않았는지, 완성된 x²의 계수가 0이 되는 문자값을 제외했는지를 본다.
예를 들어 b=1을 대입하면 x²의 계수는 12(1-1)=0이 되어 식이 -4x+7=0으로 바뀐다. 따라서 b=1은 제외해야 한다. 학생이 이 대입을 통해 차수 변화를 설명한다면, 문자계수의 조건을 답안에 남기고 새로운 형태에서도 스스로 적용한 것으로 판단할 수 있다.