매개변수 미분에서 먼저 확인할 것
대흥동에서 고3 수학과외 학습을 진행하는 학생이 변형문제를 풀다가 계산 줄마다 dy/dt와 dx/dt를 곱하는 실수를 반복했다. 귀가 후 과제량이 많은 날에는 풀이를 빠르게 끝내려다 첫 판단을 스스로 세우는 과정이 흔들렸고, 숭문고등학교 시험 준비에서도 공식보다 변수 사이의 관계를 먼저 확인하는 연습이 필요했다.
매개변수식의 구조를 먼저 분류하기
다음과 같이 주어진 경우를 보자.
x=t2+1, y=t3-3t
각 변수를 t로 미분하면
dx/dt=2t, dy/dt=3t2-3
t=2에서 dx/dt=4, dy/dt=9이므로 dx/dt가 0이 아니다. 따라서 매개변수 t를 통해 x와 y의 변화율을 연결할 수 있다.
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=9/4
여기서 분자는 y의 변화율, 분모는 x의 변화율이다. 둘을 곱하는 규칙은 매개변수 미분에 허용되지 않는다.
실제 오답을 줄 단위로 수정하기
학생의 오답: dy/dx=(dy/dt)(dx/dt)=9×4=36
이 식은 오답이다. dy/dx는 y가 변하는 정도를 x가 변하는 정도로 나눈 값이므로, 변화율의 곱이 아니라 비율이어야 한다. 학생은 틀린 줄에 표시한 뒤 다음 순서로 고쳤다.
- 1단계: 오답 줄에 밑줄을 긋고 dy/dx의 의미를 “y의 변화량 ÷ x의 변화량”으로 다시 적는다.
- 2단계: t=2에서 dx/dt=4이므로 분모가 0인지 확인한다.
- 3단계: 36을 지우고 (dy/dt)/(dx/dt)=9/4로 식을 수정한다.
- 4단계: 작은 변화에서 dx/dt=4, dy/dt=9이므로 x가 1만큼 변할 때 y의 변화율이 9/4라는 뜻인지 검토한다.
또한 dy/dx=9/4를 (dy/dt)=(dy/dx)(dx/dt)에 대입하면 (9/4)×4=9가 되어 원래 dy/dt와 일치한다. 곱셈으로 계산한 36은 이 역검산을 통과하지 못한다.
조건이 달라진 문제로 다시 확인하기
같은 예제를 반복하지 않고 다음 문제를 풀었다.
x=t3-t, y=et2/(t+1), t=2
먼저
dx/dt=3t2-1
이고, y는 합성함수와 몫의 구조이므로
dy/dt={2t et2(t+1)-et2}/(t+1)2
이다. t=2를 대입하면
dx/dt=11, dy/dt=11e4/9
따라서
dy/dx=(11e4/9)/11=e4/9
학생은 중간에 두 값을 곱하지 않았는지 확인하고, 마지막으로 (e4/9)×11=11e4/9를 계산해 dy/dt로 되돌아가는지 검산했다. 계수와 함수 구조가 바뀌어도 “dx/dt가 0인지 확인한 뒤 dy/dt를 dx/dt로 나눈다”는 판단을 재현하는 것이 핵심이다.