남가좌고2수학과외

남가좌고2수학과외: 같은 밑으로 바꾼 뒤 부등호를 확인하는 지수부등식 풀이

남가좌동 생활권에서 통학과 과제가 겹치는 시기에는 짧은 풀이를 빠르게 끝내려는 과정에서 한 줄이 생략되기 쉽다. 서대문구 통학권의 고등학교 수학 프린트에서 자주 만나는 지수부등식은 밑을 통일하는 것보다, 통일한 뒤 지수 사이의 부등호를 어떻게 판단하는지가 관건이다.

8^x<2⁶에서 8과 2만 비교한 풀이

다음 식을 풀어 보자.

8^x < 2⁶

풀이 줄에 8<2이므로 부등호가 바뀐다고 적었다면, 밑의 크기를 비교해 답을 정한 것이 문제다. 이 식에서 비교해야 할 대상은 밑 8과 2가 아니라, 같은 밑으로 표현한 뒤의 지수다.

먼저 8을 2의 거듭제곱으로 바꾼다.

8=2³이므로
8^x=(2³)^x=2^3x

따라서

2^3x < 2⁶

이제 밑은 모두 2이고, 2는 1보다 크므로 지수함수는 증가한다. 그러므로 부등호 방향을 바꾸지 않고

3x<6

에서 x<2를 얻는다. 여기서 부등호가 유지된 이유는 8과 2의 원래 크기를 비교했기 때문이 아니라, 통일된 밑 2가 1보다 큰 값이기 때문이다.

계산 줄 사이에 밑의 성질을 기록하기

풀이를 다시 쓸 때는 식만 나열하지 않고 다음 세 줄을 반드시 남긴다.

1. 8=2³
2. 2^3x<2⁶
3. 밑 2>1이므로 3x<6

이 과정을 적용하면 밑을 잘못 비교하는 행동을 식의 변환 단계에서 바로 확인할 수 있다. 특히 마지막 줄에서 “밑이 2이고 1보다 크다”는 근거를 적어야 부등호를 유지한 이유가 드러난다.

계수와 지수를 바꾼 식에서 다시 확인하기

앞의 예시를 보지 않고 다음 미니문제를 풀이한다.

4^x-1 > 2⁵

4=2²이므로

4^x-1 =2^2(x-1) =2^2x-2

따라서

2^2x-2>2⁵

밑 2가 1보다 크므로 부등호는 그대로 유지된다.

2x-2>5

따라서 x>7/2이다. 이 풀이에서 4와 2를 단순 비교하지 않고, 4=2²로 바꾼 뒤 밑 2의 증가 여부를 확인했다면 같은 위치의 오류가 반복되지 않은 것이다.