남가좌고1수학과외: 포물선 이동에서 괄호 부호 읽기
서대문구 남가좌동 생활권에서 학교와 집 사이 이동, 과제, 시험 준비가 겹치면 풀이를 길게 적기보다 눈에 보이는 숫자부터 옮겨 쓰려는 장면이 생긴다. 포물선에서는 이 습관이 특히 위험하다. y=(x-a)²+b에서 꼭짓점은 (a,b)이지만, 괄호 안의 부호는 이동 방향과 반대로 보일 수 있기 때문이다.
숫자는 맞혔지만 꼭짓점의 위치가 뒤집힌 풀이
학교 프린트에 다음 함수가 제시되었다.
y=(x-4)²-3
학생은 인수의 숫자 4와 바깥의 숫자 -3을 먼저 확인한 뒤, “4만큼 왼쪽, 3만큼 아래”라고 적었다. 숫자의 크기는 찾았지만 괄호 안의 -4를 보고 왼쪽으로 판단한 것이다. 실제로는 x-4=x-(4)이므로 기본 포물선 y=x²를 오른쪽으로 4, 아래로 3만큼 이동한 식이다. 따라서 꼭짓점은 (4,-3)이다.
괄호 안의 수를 그대로 방향으로 읽지 말고, x-a의 꼴에서 꼭짓점의 x좌표가 a임을 확인한다.
이동 방향을 식의 모양으로 판단하기
기본 포물선 y=x²에서 x 대신 x-a를 넣으면 그래프는 오른쪽으로 a만큼 이동한다. 반대로 x+a=x-(-a)이므로 왼쪽으로 a만큼 이동한다.
- y=(x-5)²+1의 꼭짓점은 (5,1)
- y=(x+2)²-4=y-(x-(-2))²-4가 아니라, 정확히 y=(x-(-2))²-4이므로 꼭짓점은 (-2,-4)
두 번째 식에서 괄호 안 숫자는 2이지만 x좌표는 -2이다. 학생이 숫자만 먼저 표시하고 부호를 마지막에 감으로 붙이면 이런 변환을 놓치기 쉽다.
풀이 앞뒤에 같은 판단을 남기는 훈련
수정할 때는 풀이 시작 전에 다음처럼 짧게 적는다.
y=(x-4)²-3 → 꼭짓점 (4,-3), 오른쪽 4·아래 3
그 뒤 x=4를 대입해 꼭짓점을 확인한다.
y=(4-4)²-3=0-3=-3
또 x=3과 x=5를 각각 대입하면
y=(3-4)²-3=1-3=-2, y=(5-4)²-3=1-3=-2
가 되어 꼭짓점의 양옆에서 같은 높이가 나타난다. 풀이를 마친 뒤에도 식과 꼭짓점의 대응을 다시 적어, 처음의 판단이 계산 과정에서 사라지지 않았는지 확인한다.
중간식을 보존해야 오류 위치가 보인다
이동한 포물선의 식을 구하는 문제에서 꼭짓점이 (-3,2)이고 기본 포물선을 위아래로 2만큼 옮겼다면, 먼저
y=(x-(-3))²+2=(x+3)²+2
라고 쓴다. 학생이 곧바로 (x-3)²+2라고 바꾸면 부호를 잘못 읽은 시점이 남지 않는다. 괄호를 포함한 중간식을 유지하면 x-(-3)에서 x+3으로 바뀌는 과정을 확인할 수 있다.
불필요한 수가 들어간 새 문제에서 확인하기
연습 뒤에는 다음 조건을 제시한다.
함수 y=(x+6)²-1은 x=2에서 y의 값을 구하고, 참고 숫자 9는 사용하지 마라.
학생이 먼저 x+6=x-(-6)으로 바꾸어 꼭짓점을 (-6,-1)로 기록하는지 본다. 이후 중간식을 유지해 계산한다.
y=(2+6)²-1=8²-1=64-1=63
이때 9를 계산에 끌어오지 않고, 만약 8²-1=63을 잘못 적었다면 답만 고치는 것이 아니라 바로 앞의 8² 줄부터 혼자 되짚는지 확인한다. 숫자가 바뀌고 불필요한 정보가 추가되어도 ‘괄호를 x-a 꼴로 해석하고, 중간식을 남긴다’는 풀이 순서가 유지되어야 적용이 이어진다.