남가좌고3수학과외

남가좌 생활권 고3 수학과외: 법선식에서 부호가 깨진 지점 찾기

서대문구 남가좌동 생활권에서 통학과 과제가 겹치면 풀이를 끝까지 검산하기보다 익숙한 공식만 적용하기 쉽다. 이번에는 법선의 방정식을 구한 뒤, 부호표와 함숫값을 이용해 중간 변형이 맞는지 확인했다.

접선 기울기에서 법선식까지

함수 f(x)=x³-3x²+2의 그래프 위 점 x=1에서 법선의 방정식을 구해 보자.

먼저

f(1)=1-3+2=0, 따라서 점은 (1, 0)이다.

도함수는

f′(x)=3x²-6x=3x(x-2)

이므로

f′(1)=3(1)(-1)=-3이다. 접선의 기울기는 -3이고, 법선의 기울기는 음의 역수인

m_n=-1/(-3)=1/3

이다. 따라서 법선은

y-0=⅓(x-1), 즉 y=⅓x-⅓이다.

학생의 오답: m_n=1/(-3)=-⅓이므로 y=-⅓(x-1)

이 식은 틀린 식이다. 법선 기울기는 접선 기울기의 역수에 음의 부호를 붙여야 하므로 -1/m을 사용해야 한다. 접선 기울기와 법선 기울기의 곱도 (-3)(1/3)=-1이어야 하는데, 오답의 경우 (-3)(-1/3)=1이 되어 수직 조건을 만족하지 않는다.

틀린 줄을 표시하고 역계산하기

• ① 틀린 줄 표시: 법선 기울기 = 1/(-3)에 X 표시를 한다.
• ② 사용 규칙 기록: 접선과 법선은 수직이므로 m_tm_n=-1이다.
• ③ 식 수정: m_n=-1/m_t=-1/(-3)=1/3으로 바꾼다.
• ④ 원래 조건 대입: y=⅓x-⅓에 x=1을 넣으면 y=0이므로 원래 점을 지난다.
• ⑤ 역계산: 수정한 기울기와 접선 기울기를 곱해 (1/3)(-3)=-1인지 확인한다.

부호표도 함께 확인했다. f′(x)=3x(x-2)이므로 임계점은 x=0, 2이고, 도함수의 부호는 구간별로 +, -, +이다. 특히 x=1에서는 도함수가 음수이므로 접선 기울기가 -3이라는 판단과도 일치한다.

기울기 0인 경우의 별도 점검

같은 공식을 기계적으로 적용하면 안 된다. 함수 g(x)=x³-6x²+9x+1에서 x=1일 때

g′(x)=3(x-1)(x-3), g′(1)=0, g(1)=5이다.

접선은 수평선 y=5이고, 이에 수직인 법선은 기울기를 숫자로 쓰는 직선이 아니라 x=1이다. 학생이 y=5라고 적었다면 이는 접선과 법선을 바꾼 오답이다. 점 (1,5)를 지나고 수평선에 수직인 직선인지 조건을 다시 확인해야 한다.

조건을 바꾼 독립 검증

이번에는 h(x)=x³-4x+1의 x=2에서 법선을 구한다.

h′(x)=3x²-4이므로 h′(2)=8, 또 h(2)=1이다. 따라서 법선 기울기는 -1/8이고 법선은

y-1=-⅛(x-2)

이다. 수정한 식에 x=2를 대입하면 y=1이며, 접선 기울기와의 곱은 8×(-1/8)=-1이다. 숫자와 함수식을 바꾸어도 점 통과 조건과 수직 조건을 모두 만족하므로 법선 기울기 규칙을 제대로 적용한 것이다.