신대방고2수학과외

신대방고2수학과외에서 지수방정식을 다룰 때, 계산 결과보다 먼저 확인할 것은 치환한 값의 범위다. 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 신대방경남아파트·신대방현대아파트 인근에서의 평일 귀가 시간을 함께 고려하면 긴 풀이를 무작정 반복하기보다 한 줄의 오류가 어디서 생겼는지 추적하는 연습이 효율적이다.

t=2^x를 놓는 순간 이미 t>0이다

다음 방정식을 살펴보자.

2^2x−3·2^x−4=0

학생의 답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.

t=2^x로 두면 t²−3t−4=0
(t−4)(t+1)=0
t=4 또는 t=−1

오답이 발생한 줄은 인수분해가 아니라 마지막 해 후보를 그대로 남긴 줄이다. 지수함수 2^x는 어떤 실수 x에서도 항상 양수이므로 t=2^x로 치환한 순간 t>0이라는 조건이 함께 생긴다. 따라서 t=−1은 허용되지 않는다.

t=4만 원래 치환식에 되돌리면 2^x=4=2²이므로 x=2이다. 정답은 x=2이며, t=−1을 다시 2^x=−1로 바꾸는 것은 실수 범위에서 불가능하다.

오답 줄을 표시하며 치환 조건까지 한 줄로 묶기

풀이를 다시 쓸 때는 치환식 옆에 조건을 붙인다.

t=2^x>0
t²−3t−4=0
(t−4)(t+1)=0
t=4 또는 t=−1 중 t>0인 t=4만 선택

이렇게 쓰면 “왜 −1을 버렸는가”가 계산 뒤에 남는다. 단순히 답을 고치는 것이 아니라, 해를 얻은 줄에서 치환변수의 조건과 대조해야 오류가 다시 나타났을 때 위치를 특정할 수 있다.

분수 밑에서도 양수 조건을 유지하는지 확인하기

새로운 미니문제로 다음 식을 풀이한다.

(1/2)^2x−3(1/2)^x+2=0

이번에는 t=(1/2)^x로 두고, 지수의 밑이 1/2이더라도 t>0임을 먼저 적는다.

t=(1/2)^x>0
t²−3t+2=0
(t−1)(t−2)=0
t=1 또는 t=2

두 값 모두 양수이므로 제거할 후보가 없다. (1/2)^x=1에서 x=0, (1/2)^x=2에서 2^−x=2이므로 −x=1, x=−1이다. 따라서 해는 x=0, −1이다.

새 수치에서도 풀이 시작 줄에 t>0을 적고, 이차방정식의 해를 얻은 뒤 다시 그 조건을 대조했다면 치환변수 조건을 실제로 적용한 것으로 확인할 수 있다. 분수 밑이 등장해도 양수 조건은 변하지 않는다.