신대방고1수학과외: 중근에서 ± 두 값을 하나로 정리하기
수도여자고등학교의 학교 프린트와 교과서 문제를 함께 풀다 보면 이차방정식의 근의 공식에서 나온 ±를 항상 서로 다른 두 답으로 적는 장면이 나타난다. 신대방동에서 평일 귀가 후 짧게 복습할 때도, 계산 결과가 같은지 확인하는 한 줄이 빠지면 중근을 두 개의 해처럼 기록하기 쉽다.
± 뒤의 두 계산값이 실제로 다른가
다음 방정식을 살펴보자.
2x2 - 8x + 8 = 0
근의 공식에 대입하면
x = (8 ± √((-8)2 - 4·2·8)) / 4
이고, 판별식은
64 - 64 = 0
이다. 따라서
x = (8 ± 0) / 4
에서 플러스인 경우와 마이너스인 경우가 각각
(8 + 0) / 4 = 2, (8 - 0) / 4 = 2
로 같다. 답은 x = 2 하나이며, 이를 중근이라고 한다. ‘두 근’이라는 표현은 근의 개수를 셀 때 쓰일 수 있지만 답안에는 서로 다른 값 두 개를 적는 것이 아니다.
학생의 답안에서 두 해로 늘어난 순간
실제 풀이에서는 학생이 x = 2, 2라고 답란에 적고, 다음 줄에서 두 값을 각각 다른 해처럼 표시했다. ± 기호를 보자마자 플러스와 마이너스를 분리했지만, 그 결과가 같은지 계산하지 않은 것이다. 또한 판별식이 0이라는 사실을 답안 근거로 남기지 않아 중근이라는 판단도 드러나지 않았다.
판별식이 0이면 근의 공식의 ± 부분에 들어가는 값이 0이므로 두 계산 결과는 반드시 같다. 따라서 서로 다른 두 근이 아니라 하나의 중근으로 정리한다.
계산 뒤에 남겨야 할 한 줄
수정할 때는 근의 공식 계산을 끝내자마자 두 결과를 나란히 비교한다. 위 문제에서는 8 + 0과 8 - 0이 모두 8이므로, 답안은 다음처럼 작성한다.
판별식 D = 0이므로 중근을 갖고, x = 2이다.
원래 식에 대입해도
2·22 - 8·2 + 8 = 8 - 16 + 8 = 0
이므로 x = 2가 실제 해임을 확인할 수 있다. 같은 값을 두 번 적는 대신 판별식과 대입 결과를 이용해 하나의 중근으로 정리하는 과정이 필요하다.
문자 부분을 보고 동류항을 묶는 짧은 계산
시간 제한을 둔 계산 세트에서는 다음 식을 먼저 정리하게 할 수 있다.
3x2 + 5x - 2x2 + 4 - x
x2항끼리, x항끼리, 상수항끼리 모으면
(3 - 2)x2 + (5 - 1)x + 4 = x2 + 4x + 4
가 된다. 동류항 여부는 계수의 숫자가 비슷한지가 아니라 문자 부분과 지수가 같은지로 판단한다. 예를 들어 x2와 x는 함께 계산할 수 없다. 이 기준을 먼저 설명하게 하면 근의 공식 계산에서도 숫자와 기호를 분리해 확인하는 습관을 점검할 수 있다.
조건을 바꾼 독립 확인
연습 문제의 계수를 바꾸어 3x2 - 12x + 12 = 0을 제시한다. 판별식은
(-12)2 - 4·3·12 = 144 - 144 = 0
이므로 근의 공식에서
x = (12 ± 0) / 6 = 2
가 된다. 제한된 시간 안에도 플러스와 마이너스 결과가 같은지 확인하고, “판별식이 0인 중근 x = 2”라고 스스로 정리하는지 본다. 이어서 앞의 계산식에서 동류항을 묶을 때도 문자 부분이 같은 항만 선택하는지 확인한다. 학교별 시험 범위와 수행평가 일정이 겹치는 주간에는 이런 짧은 계산 세트로 공통 개념을 연결해 점검할 수 있다.