신대방 고3수학과외, 합성함수 미분에서 최초 오류 찾기
신대방동에서 수도여자고등학교에 다니는 고3 학생은 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 고려해 오답 복습 시간을 정하고 있다. 동작구의 성남고등학교, 동작고등학교, 경문고등학교, 숭의여자고등학교는 같은 구의 참고 학교로 구분해 생활권 정보를 확인하되, 신대방동 소재 학교로 단정하지 않았다.
계수 하나가 사라진 미분 과정
학생이 복기한 함수는 다음과 같다.
f(x)=(3x2-1)4
학생의 오답은
f′(x)=4(3x2-1)3
이다. 이 식은 오답이다. 바깥함수 u4를 미분한 뒤 안쪽함수 u=3x2-1의 미분값 u′=6x를 곱하지 않았기 때문이다. 학생은 이를 ‘실수’라고만 적었지만, 최초 오류는 합성함수에서 바깥함수의 미분만 하고 안쪽함수의 변화를 연결하지 않은 순간이다.
정확한 식은
f′(x)=4(3x2-1)3·6x=24x(3x2-1)3
이다. 학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 원 안에 핵심 계수 6x를 적었다. 이어서 ‘바깥함수 → 안쪽함수’ 순서를 확인하고, u=3x2-1로 치환해 식을 수정했다.
값을 대입해 미분 결과를 되짚기
x=1일 때 원래 함수의 안쪽값은 3(1)2-1=2이다. 따라서 정확한 도함수값은
f′(1)=24·1·23=192
이다. 오답식은 4·23=32이므로 두 값이 다르다. 학생은 이 대입 검산을 통해 빠진 계수 6x가 실제 결과를 바꾼다는 점을 확인했다. 이후 비슷한 식을 표준형처럼 바깥 미분 × 안쪽 미분으로 정리하고, 답만 쓰지 않고 누락된 계수의 근거를 한 문장으로 남겼다.
조건을 바꾼 새 문제로 확인하기
같은 문제를 반복하지 않고 다음 함수를 새로 제시했다.
y=(2x-5)3
u=2x-5로 두면 바깥함수의 미분은 3u2, 안쪽함수의 미분은 2이므로
y′=3(2x-5)2·2=6(2x-5)2
이다. 특히 x=3에서 y′=6이다. 학생은 이번에는 답보다 먼저 바깥함수와 안쪽함수에 각각 표시하고, 계수 2를 곱했는지 확인했다. 매개변수나 음함수로 표현이 바뀌어도 같은 방식으로 각 변수의 관계를 먼저 적은 뒤 미분하도록 점검했다.