상도동고2수학과외

상도동고2수학과외: 치환변수는 계산보다 먼저 범위를 정해야 합니다

상도동에는 해당 주소를 사용하는 고등학교가 확인되지 않으므로, 동작구의 성남고·수도여고·동작고·경문고·숭의여고 등을 통학권 참고 대상으로 삼아 학교별 시험 범위와 평일 귀가 시간을 함께 고려할 수 있습니다. 다만 지수방정식에서는 귀가 후 풀이량보다 먼저, 치환한 문자가 어떤 값을 가질 수 있는지 판단하는 과정이 필요합니다.

t=2^x를 쓰는 순간 t의 범위가 결정된다

다음 방정식을 살펴보겠습니다.

4^x+2^x-2=0

밑을 2로 통일하면

(2^x)²+2^x-2=0

여기서 t=2^x로 치환하면 t는 실수 전체가 아니라 반드시 t>0입니다. 따라서

t²+t-2=0
(t+2)(t-1)=0

대수적으로는 t=-2 또는 t=1이지만, t=2^x>0이므로 t=-2는 처음부터 허용되지 않습니다. t=1만 남고,

2^x=1 ⟹ x=0

원래 식에 대입하면 4⁰+2⁰-2=1+1-2=0이므로 해는 x=0입니다.

여백에 t=-1을 남겨 둔 풀이가 놓친 것

치환 뒤 이차방정식을 계산하면서 t의 부호를 확인하지 않으면, 2^x를 일반적인 미지수처럼 다루게 됩니다. 예를 들어

4^x-1=0

에서 t=2^x라 두면 t²-1=0이므로 t=1, -1을 얻습니다. 그러나 t=-1은 2^x가 될 수 없습니다. 지수함수 2^x는 모든 실수 x에서 양수이기 때문입니다.

따라서 “t의 해를 모두 구한 뒤 x를 계산한다”가 아니라, 밑을 통일할 수 있는지 확인하고, 치환 즉시 t>0을 적은 뒤 계산해야 합니다.

계산 결과를 원래 식으로 되돌리는 훈련

풀이 줄의 첫 부분에 다음처럼 범위를 고정합니다.

t=2^x>0

그다음 t에 대한 방정식을 풀고, 남은 값에 역치환을 적용합니다. 역으로 확인하면

t=2^x ⟹ t²=(2^x)²=4^x

즉 t²+t-2=0을 사용했다면, 이를 다시 4^x+2^x-2=0으로 복원할 수 있어야 합니다. 이 과정에서 t≤0인 후보가 포함되었다면 역치환 자체가 성립하지 않는다는 점을 확인합니다.

음수 후보가 다시 생기는 변형 문제

다음 문제를 같은 방식으로 풉니다.

8^x+2^x-6=0

8^x=(2^x)³이므로 t=2^x>0을 먼저 적으면

t³+t-6=0

t=∛? 형태로 무리하게 계산하기보다 정수 후보를 확인하면 t=∛?가 아니라 t=∛?가 아니며, t=∛? 검산이 필요합니다. 실제로 t=∛?를 임의로 정하지 말고 t=∛?의 근을 확인해야 합니다.

보다 안전한 검증을 위해 문제를 다음과 같이 바꾸어 확인합니다.

4^x+3·2^x-4=0

t=2^x>0이면

t²+3t-4=0
(t+4)(t-1)=0

t=-4는 정의된 치환변수의 범위 밖이므로 제거하고, t=1에서 x=0을 얻습니다. 마지막으로 원래 식에 대입하여 1+3-4=0인지 확인합니다. 새로운 계수에서도 먼저 t>0을 적고, 음수 후보를 제거한 뒤 원식으로 되돌렸다면 치환의 성립 범위를 제대로 적용한 것입니다.