상도동 고3수학과외에서 합성함수 미분의 구조를 다시 세운 사례
서울특별시 동작구 상도동에서 공부하는 학생은 평일 귀가 시간과 학교별 시험 범위, 수행평가 일정을 함께 조정하며 미분 단원을 복습하고 있었다. 상도동 주소에 해당하는 고등학교는 확인되지 않았으며, 성남고등학교·수도여자고등학교·동작고등학교·경문고등학교·숭의여자고등학교 등 동작구 내 학교를 통학권 참고 자료로 삼아 학습 시간을 배분했다.
바깥함수만 미분한 풀이
학생은 다음 함수를 미분하면서 안쪽 함수의 변화율을 빠뜨렸다.
y=(x2+1)3
학생의 오답: y'=3(x2+1)2
이 식은 바깥함수 t3의 미분 결과인 3t2만 반영한 것으로 틀렸다. t=x2+1이므로 t가 x에 따라 변하는 비율인 2x도 곱해야 한다.
안쪽 함수의 변화까지 연결하기
먼저 함수의 구조를 바깥함수와 안쪽 함수로 나눈다.
- 안쪽 함수: g(x)=x2+1
- 바깥함수: f(t)=t3
- f'(t)=3t2, g'(x)=2x
따라서 연쇄법칙에 의해
y'=f'(g(x))g'(x)=3(x2+1)2·2x=6x(x2+1)2
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 괄호 안의 식이 단순한 상수가 아니라 x에 의해 변하는 함수인지 확인했다. 이후 빠진 g'(x)를 곱해 식을 다시 작성하고 대표값을 대입했다.
x=0일 때 원래 함수는 y=1이고, 미분계수는 수정된 식에서 y'=0이다. 실제로 x=0 부근에서 함수는 (x2+1)3 형태로 좌우 대칭이므로 x=0에서의 접선 기울기가 0이라는 점과도 일치한다. x=1을 대입하면 y'=6·1·22=24가 되어 계산 결과도 확인된다.
곱·몫·합성이 함께 있는 새 조건으로 검증
같은 식을 반복하지 않고 다음 함수를 독립적으로 풀었다.
y=(x2+1)2·(3x-1)/(x+2) (x≠-2)
앞부분은 합성함수이고 두 인자의 곱이므로 곱의 미분법과 몫의 미분법을 함께 적용한다.
y'=4x(x2+1)·(3x-1)/(x+2)+(x2+1)2·7/(x+2)2
여기서
((3x-1)/(x+2))'={3(x+2)-(3x-1)}/{(x+2)2}=7/(x+2)2
이다. x=0을 대입하면 첫 번째 항은 0이고 두 번째 항은 7/4이므로 y'(0)=7/4이다. 학생은 미분식을 다시 원식에 대입해 x=0에서 같은 값이 나오는지 확인하고, 정의역에서 x=-2를 제외해야 한다는 조건도 함께 기록했다.