상도동고1수학과외: 이차방정식의 두 근을 원식에 대입해 확인하기
이차방정식 풀이에서 ±는 답을 꾸미는 기호가 아니라 서로 다른 두 값을 계산하라는 뜻이다. 상도동에서 학교 프린트와 문제집을 번갈아 공부할 때에도 식의 표현이 달라졌을 뿐, 두 근을 각각 구하고 원래 방정식에 대입하는 과정은 같아야 한다.
첫 번째 값에서 풀이를 멈춘 장면
예를 들어 다음 방정식을 풀어 보자.
x2 - 6x - 11 = 0
근의 공식을 적용하면
x = (6 ± √(36 + 44)) / 2 = (6 ± √80) / 2 = 3 ± 2√5
그런데 풀이 기록에는 x = 3 + 2√5만 적혀 있고, 3 - 2√5를 계산한 줄은 없었다. 학생은 첫 해가 나온 뒤 다른 부호의 경우를 별도로 적지 않고 답을 마쳤다. 이 상태에서는 공식의 형태를 기억하고 있어도 두 근을 모두 산출하는 기준은 아직 안정되지 않았다고 볼 수 있다.
±를 두 줄의 계산으로 바꾸기
부호를 생략하지 않으려면 처음부터 두 경우를 나누어 적는다.
- 첫째 근: x1 = 3 + 2√5
- 둘째 근: x2 = 3 - 2√5
두 값이 실제 근인지 원식에 대입하면 각각 확인할 수 있다. x = 3 + 2√5일 때
x2 - 6x - 11 = (3 + 2√5)2 - 6(3 + 2√5) - 11 = 0
이고, x = 3 - 2√5일 때도
x2 - 6x - 11 = (3 - 2√5)2 - 6(3 - 2√5) - 11 = 0
이 된다. 따라서 두 값 모두 방정식을 만족한다. 원식 대입은 계산을 길게 만드는 절차가 아니라, ±의 두 경우를 빠뜨리지 않았는지 확인하는 장치다.
답안에 남겨야 할 별도 표시
연습할 때는 근을 구한 뒤 답란에 바로 옮기지 않고, 풀이 옆에 작은 확인 칸을 둔다.
- + 경우 계산 완료
- - 경우 계산 완료
- 두 값을 원래 식에 대입
예를 들어 첫 번째 근만 구한 상태라면 첫 줄만 표시하고 멈춘다. 두 번째 줄까지 계산한 뒤 두 값을 원식에 넣어 0이 되는지 확인해야 다음 단계로 넘어간다. 이 표시가 있어야 ‘두 근 중 하나만 적는 습관’이 실제 풀이에서 드러난다.
표현이 달라진 문제에서도 같은 관계 찾기
학교 프린트에 근의 공식 문제가 나오고 문제집에는 “방정식의 모든 실근을 구하여라”라고 적혀도, 요구하는 수학적 행동은 같다. 다음 식을 보자.
x2 + 4x - 1 = 0
근은
x = (-4 ± √(16 + 4)) / 2 = -2 ± √5
이므로 반드시 -2 + √5와 -2 - √5를 모두 적어야 한다. 두 값을 원식에 대입하면 각각 0이 되며, 하나만 적으면 “모든 실근”이라는 문제의 요구를 충족하지 못한다. 숫자와 계수가 바뀌어도 ±를 두 줄로 계산하고 원식에 대입하는 절차는 변하지 않는다.
상도동 생활권에서 확인할 짧은 검증
상도노빌리티아파트나 상도 아이파크 등 생활권에서 귀가한 뒤 학교 프린트와 문제집의 표현이 다른 문제를 한 쌍 골라 확인할 수 있다. 이미 답이 기억나는 예제는 그대로 반복하지 말고, 계수나 상수항이 바뀐 문제를 선택한다.
검증할 때는 답지를 먼저 찾지 않고 다음 순서로 풀이한다. ±의 두 부호를 각각 계산하고, 두 근을 원식에 대입한 뒤, 문제에서 요구한 “두 근”, “모든 실근” 같은 표현에 맞춰 답을 적는다. 이 행동을 별도의 도움 없이 먼저 시작하고 끝까지 수행하면 해당 오류를 수정한 것으로 판단할 수 있다.