사당동고2수학과외: 반복 지수항을 치환한 뒤 원식까지 연결하기
풀이 답안에 2^(2x)-5·2^x+4=0을 여러 번 전개한 흔적이 남아 있었다. 이 식은 지수의 모양을 그대로 다루기보다 반복되는 항을 하나의 문자로 바꾸어야 구조가 보인다.
반복되는 항을 t로 묶는 순간
2^(2x)=(2^x)^2이므로 t=2^x라고 두면
t^2-5t+4=0
가 된다. 인수분해하면
(t-1)(t-4)=0
따라서 t=1 또는 t=4이다. 그러나 치환한 값은 t=2^x이므로 반드시 t>0이어야 한다. 두 값 모두 조건에 맞고, 원래 식으로 돌아가면
2^x=1 → x=0, 2^x=4=2^2 → x=2
이므로 해는 x=0, 2이다.
전개만 반복한 풀이에서 끊긴 연결
변형 문제에서 2^(2x)-5·2^x+4=0을 보고도 2^(2x)를 계속 전개하려 하면, 이차방정식의 형태를 놓친 채 같은 계산을 되풀이하게 된다. 잘못된 풀이의 첫 어긋남은 2^(2x)와 2^x를 서로 연결하지 않은 지점이다.
그 줄에 표시한 뒤 바로 아래에
2^(2x)=(2^x)^2
t=2^x (t>0)
t^2-5t+4=0
을 다시 쓴다. 이후 얻은 t의 값을 2^x=t에 되돌려 놓아야 답안이 완성된다. 치환은 계산을 생략하는 기호가 아니라, 원래 지수방정식과 이차방정식을 연결하는 중간 단계다.
상수항만 바뀌었을 때 확인할 것
사당동에서 동작고등학교의 학교 일정과 사당삼익그린뷰아파트·인정아파트 생활권의 이동 시간을 고려해 주간 문제를 나누더라도, 변형 문제에서는 바뀐 조건만 다시 읽어야 한다. 다음 식은 원래 식의 상수항만 바꾼 경우다.
2^(2x)-5·2^x+6=0
같은 방식으로 t=2^x>0라 두면
t^2-5t+6=0
(t-2)(t-3)=0
이므로 t=2 또는 t=3이다. 따라서
x=1 또는 x=log₂3
이다. 여기서 t=3을 곧바로 x=3으로 쓰면 안 된다. 치환값과 미지수의 값을 구분하고, 반드시 2^x=t를 다시 풀어야 한다.
부호가 달라진 식에서 치환을 유지하는지
마지막으로 다음 식을 별도로 제시한다.
2^(2x)+3·2^x-4=0
t=2^x>0을 유지하면
t^2+3t-4=0
(t-1)(t+4)=0
이다. 후보는 t=1, -4지만 t=2^x>0이므로 t=-4는 제거한다. 남은 t=1에서 2^x=1이므로 x=0이다.
계수나 부호가 바뀌어도 답안에 t=2^x>0, 이차방정식 풀이, 2^x=t로의 복귀가 차례로 남아 있는지를 확인하면 치환이 새로운 조건에서도 제대로 작동했는지 판단할 수 있다.